D'après une suite olympique

Re

oui bien sur grosse c..

x(0) est majoré par les c(n) pour n>=1 donc ..

bref tout reste à faire ( quant à mes notations , tu m'accorderas b=1 et j'aurais du poser b(n)=1-a(n) au lieu de garder la meme lettre..)

j'ai idée que les series de terme général x(n)-a(n) et x(n+1)-x(n) interviennent.

Oump.

Re ,avant dodo

en fait pour x(0)>0 donné ou bien il existe un entier k tel que x(k+1)<=x(k)
et alors la suite decroit à partir de ce rang et converge donc vers 0

ou bien la suite est strictement croissante , vers +oo si il existe un k tel que x(k)>= l=lim (1-a(n) ou vers l si elle est bornée

l'ensemble des x(0) ou on a convergence vers est un intervalle (0 u) avec u<=l
d'ailleurs et u est le candidat cherché .
je n'ai pas de conviction sur le fait qu'il fait l'affaire
( et aucune calculette ne peut donner d'idée , hormis le fait que u est bien un point frontiere entre convergence vers 0 et croissance stricte avec lim infinie)

bonne nuit

Comme oumpapah, je prends $b=1$, et j'écris la relation de récurrence sous la forme
$$u_{n+1} - u_n = u_n^2 +(a_n-1)u_n$$
Il s'agit alors de la discrétisation de l'équation différentielle
$$y'(t) = y^2(t) + (a(t)-1)y(t)$$
qui est une classique équation de Bernoulli.

L'intérêt de l'équation de Bernoulli est que l'on connait le comportement de ses solutions à l'infini, et que l'on peut leur comparer le comportement des suites récurrentes associées.

Soit $(c_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite strictement croissante à valeurs dans l'intervalle $]0,1[$, dont on notera $c$ la limite (non nulle). On considère les suites $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ qui satisfont la relation de récurrence
$$u_{n+1} = u_n(u_n + 1 - c_n).$$

1) Si la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge, de limite $\ell$, alors
$$\ell = \ell(\ell + 1 - c)$$
et les seules valeurs possibles sont $\ell = 0$ et $\ell = c$.

2) Si $u_n \geq c$, alors $u_{n+1} \geq u_n(1 + c - c_n) > u_n$.

Une récurrence montre immédiatement que, s'il existe $n_0$ tel que $u_{n_0} \geq c$, la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est strictement croissante, minorée par $c$ ; par suite la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ diverge vers $+\infty$.

3) Si $u_n \leq c_n < c$, alors $u_{n+1} \leq u_nc \leq u_n \leq c_{n+1} < c$.

Une récurrence montre immédiatement, que, s'il existe $n_0$ tel que $u_{n_0} \leq c_{n_0}$, la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est décroissante, strictement majorée par $c$ ; par suite la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ converge vers 0.

4) Reste le cas d'une suite qui satisfait, pour tout $n$, à
$$c_n < u_n < c.$$

Pour tout $n$, il vient $u_{n+1} > u_n(c_n + 1 - c_n) = u_n$. Elle est donc strictement croissante, majorée par $c$, de limite $c$.

Reste à voir que ce dernier cas est réalisé pour une unique suite $u_n$.

5) Pour ce faire, on note $u_n(x)$ la suite définie par la valeur initiale $u_0(x) = x$.

Le point 2 montre que $u_n(c) \geq c$, le point 3 que $u_n(c_0) \leq c_n$.

Partant de $u_0(x)$ continue est strictement croissante, la relation de récurrence $u_{n+1}(x) = u_n(x)(u_n(x) + 1 - c_n)$ montre immédiatement qu'il en est de même de $u_n(x)$.

Il existe donc deux suites $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ et $(y_n)_{n\in\mathbb{N}}$ telles que, pour tout $n$ :
$$u_n(x_n) = c_n \qquad ; \qquad u_n(y_n) = c.$$

Par les point 2 et 3 : on a $u_n(y_n) = c > c_{n} = u_n(x_n)$, donc
$$u_{n+1}(y_n) > u_n(y_n) = u_{n+1}(y_{n+1}) > u_{n+1}(x_{n+1}) > u_n(x_n) \geq u_{n+1}(x_n)$$
et $y_n > y_{n+1} > x_{n+1} > x_n$.

Le théorème des segments emboîtés assure l'existence d'un réel $\alpha$ tel que, pour tout $n$ : $x_n < \alpha < y_n$, et la suite $u_n(\alpha)$ ressort au point 4.

6) Supposons enfin que les deux suites $u_n(\alpha)$ et $u_{n}(\beta)$ soient redevables du point 4.

On a alors, pour tout $n$
$$u_{n+1}(\beta) - u_{n+1}(\alpha) =[u_n(\beta) - u_n(\alpha)][u_n(\beta) + u_n(\alpha) + 1 - c_n]$$
avec $u_n(\beta) > c_n$ et $u_n(\alpha) > c_n$, donc
$$\vert u_{n+1}(\beta) - u_{n+1}(\alpha) \vert \geq (1 + c_n)\vert u_n(\beta) - u_n(\alpha) \vert \geq \vert u_n(\beta) - u_n(\alpha) \vert.$$
La suite $\vert u_n(\beta) - u_n(\alpha) \vert$ est positive, croissante, de limite nulle, donc cette suite est nulle, et en particulier $u_0(\beta) = u_0(\alpha)$, c'est-à-dire $\beta = \alpha$, et l'unicité de la suite $u_n$ strictement croissante et majorée.

L'exsitence (et non existance) est prouvée au point 5 !!

>L'exsitence (et non existance)
(:P)

Bonjour,
Peux-tu expliquer ta solution inspirée de l'IMO 1985 ?
Merci.

Désolé MMu mon intention n'était pas de te rendre amer et encore moins de te décourager de nous faire profiter de ta preuve, simplement je trouve que des phrases comme :

"J'aimerais bien qu'on me montre ça ?!"

"Ce loin d'être convainquant !!"

"Pour gb : je ne vois pas ce que tu prouves !?"

"Tu peux donc nous donner la solution au problème initial ?!"

"C'est loin d'être convainquant !
Tout d'abord il faudra prouver l'existance d'une suite relevant du point 4 .."

ne collent pas avec l'ambiance de bienveillance et de respect mutuel qui règne habituellement sur le forum. Si tu n'as pas posé ton problème (intéressant au deumeurant) pour que des gens aient le plaisir de se creuser la tête dessus, pourquoi l'as-tu posé ?

Salut gilles, comment tu fais pour avoir un correcteur d'orthographe dans ton Mozilla ?

Bonjour Mmu,

Ta solution, ta solution, ta solution, ta solution, ta solution, ta solution, ta solution, ta solution, ta solution, ta solution, ta solution, ta solution...

Merci.