une suite étrange
Bonsoir!
Cela fait un bon moment que je sèche sur cette question et peut-être que quelqu'un ici peut y répondre... Voilà: on définit $(u_n)_{n\in\N}$ par $u_0=u_1=1$ et, pour $n\geqslant1$,
\[u_{n+1}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}u_{i}^{2}\textnormal{.}\]
Il s'agirait de montrer que $u_n$ est un entier pour tout $n$. Je n'ai pas le moindre embryon d'idée...
Merci d'avance et bonne chance!
PS: c'est censé être résoluble au niveau terminale (marocaine, mais quand même). Je préfère le mettre au niveau spé, aux modérateurs de trancher...
Cela fait un bon moment que je sèche sur cette question et peut-être que quelqu'un ici peut y répondre... Voilà: on définit $(u_n)_{n\in\N}$ par $u_0=u_1=1$ et, pour $n\geqslant1$,
\[u_{n+1}=\frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n}u_{i}^{2}\textnormal{.}\]
Il s'agirait de montrer que $u_n$ est un entier pour tout $n$. Je n'ai pas le moindre embryon d'idée...
Merci d'avance et bonne chance!
PS: c'est censé être résoluble au niveau terminale (marocaine, mais quand même). Je préfère le mettre au niveau spé, aux modérateurs de trancher...
Réponses
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Cette suite est constante et égale à 1, ce qui se montre simplement par récurrence.
-
T'as cherché à calculer les premiers termes de la suite !?
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[modifié. merci au barbu rasé!]
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> Si quelqu'un passe par là et veut bien rectifier...
M'enfin, tu es enregistré, tu peux modifier tes messages. -
{\it Cette suite est constante et égale à 1, ce qui se montre simplement par récurrence.}: à ce propos, j'en ai une bien bonne à vous annoncer (j'ai lu l'article de wiki sur les troll, mais promis, j'en suis pas un!!!):
{\bf Tout théorème de maths est un cas particulier d'évidence!} Vous étiez au courant (les uns les autres)? Je blague pas, il y a moult versions de ce phénomène...
Ici, on en a une excellente illustration: si le problème avait été {\it prouve que chaque $u_n=1$}, elle n'aurait pas peiné, mais {\it prouve que chaque $u_n$ est un nombre entier} et ça devient difficile...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
C'est malin de modifier l'énoncé initial après coup : on a tous l'air bête après, avec nos remarques...
Concernant l'énoncé modifié : bien que ça en ait l'air sur les premiers termes, $u_n$ n'est justement {\bf pas} un entier pour tout $n$ : \lien{http://www.research.att.com/\~{}njas/sequences/A003504}
[Lien corrigé. AD] -
christophe chalons, il est un peu agaçant de te voir la ramener sur n'importe quel sujet et te gausser ici de Skilveg qui n'a pas vu une "évidence" alors que tu n'as pas apporté en temps et en heure le moindre début d'esquisse de solution : ce sont Guego et Yop qui l'ont fait.
Modère le nombre de tes interventions sur ce forum s'il te plaît : tout le monde s'en portera mieux. -
Bon heu, je vous refais mes excuses si nécessaire, je me suis effectivement planté dans l'énoncé. Voilà.
Merci à Guego pour son apport constructif. -
{\it il est un peu agaçant de te voir la ramener sur n'importe quel sujet et te gausser ici de Skilveg qui n'a pas vu une "évidence"...}
Pour le fait que je la ramène, je te suis tout à fait, et j'essairai de faire un effort pour moins la ramener, promis (ft que j'aille manger en plus). Mais {\bf loin de moi l'idée de ma gausser de Skilveg!!!!!} As-tu lu l'annonce? Je profitais juste de l'occasion pour signaler un théorème de logique tout à fait pertinent et général, qui justement, invitait à {\bf comprendre} que les soucis de skyveg n'étaient pas anecdotiques, mais au contraire, "systématiques" en quelque sorte. Dois-je te rappeler les 60 ans {\bf qu'on a tous mis} pour démontrer en 5 lignes qu'un ensemble fini de points non tous alignés contiennent forcément 2 points tels que la droite qui les porte est disjoint du reste de l'ensemble... Oserais-je me gausser de la communauté mathématique tout entière qui a vécu entre 1850 et 1950???
note: les solutions étaient déjà là qd j'ai lu le topic, je n'ai même pas eu à chercher. Tu n'as pas besoin de t'excuser skilveg...
{\tiny mais promis, je vais la mettre en veilleuse (j'essayais d'oublier que j'ai faim, je suis au régime)}Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
La possibilité de modifier ses propres messages n'est pas forcément un progrès... De quoi ai-je l'air avec ma réponse "T'as cherché à calculer les premiers termes de la suite !?" ?
(Cela dit, ce dont le personnage Yop a l'air ne me préoccupe pas plus que cela ; par contre certains fils risquent de devenir difficile à lire si les gens se mettent à changer leur message un peu trop radicalement et sans prendre de précautions...). -
Yop, tu as tout à fait raison : il m'est arrivé la même chose sur ce fil :
<http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?2,352807,352807#msg-352807>
Evidemment, je comprends que pour celui qui la pose, c'est toujours plus clair de rectifier lui-même sa question a posteriori, mais le risque est que le fil ne retienne plus l'attention car, à part les quelques-uns qui ont lu la première version et qui s'en souviennent, ça devient quasi-impossible à suivre. -
Aleg Écrivait:
> Yop, tu as tout à fait raison : il m'est arrivé la
> même chose sur ce fil :
>
>
> Evidemment, je comprends que pour celui qui la
> pose, c'est toujours plus clair de rectifier
> lui-même sa question a posteriori, mais le risque
> est que le fil ne retienne plus l'attention car, à
> part les quelques-uns qui ont lu la première
> version et qui s'en souviennent, ça devient
> quasi-impossible à suivre.
Dans ce cas il suffit de citer le message en question .... -
Un compromis: lorsque le questionneur est amené à modifier son énoncé, lors de la modification, il serait agréable de le mentionner clairement:
" Attention, énoncé modifié : XXX est devenu YYY",
ce, afin que les répondeurs ne pédalent pas vainement dans la choucroute par la suite...
Autrement, le premier terme non entier de cette suite est le 43ème !!!
C'est effectivement une suite bigrement étrange.
Cf : ce lien du lien de Guego:
\lien{http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk./\~{}john/Zagier/Solution5.3.html}
J'oubliais Skilveg : sont vraiment costauds les Marocains en terminale.
Amicalement.
[Lien réparé. AD] -
Bonjour (remarque un peu tardive )
Attention $u_{n}=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n}u_{i}^{2}\mathnormal{.}$ n'est pas entière pour tout $n$ \ (à partir de $n=43$ ça coince !)
Dans les mêmes conditions initiales la suite :
$$ u_{n+1}=\frac{1}{n+1}\sum_{i=0}^{n}u_{i}^{2}\mathnormal{.} $$
est constante et égale à 1, ce qui se démontre simplement par récurrence.
[La case LaTeX.
AD] -
Oui... C'est gentil mais tout était contenu dans la discussion antérieure
Merci quand même! -
Bonjour,
J'ai fini par me convaincre, en étudiant les indications de Zagier (1996), que,
pour $n \geqslant44, u_n$ n'est pas entier.
( Zagier étudie la suite $v_1=2$ et pour $n \geqslant 2,\ v_n=\dfrac {2+v_1^2+\dots+v_{n-1}^2}n$
de sorte que l'on a : $u_{n+1}=v(n)$).
La méthode de Zagier donne $u_{44}=\dfrac a{43} $ avec $a\in \N^*$ non divisible par $43$, d'où,
si $n \geqslant45,\ 43^2$ est au dénominateur de $u_n$.
Mais prouver que $u_0, \dots, u_{43}$ sont entiers est (un peu) plus délicat (mais faisable).
Amicalement,
Georges
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Bonjour!
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