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Somme des 1/n^2 en Term ??

Envoyé par Hadrien 
Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Bonjour,

je connais les moyens classiques pour calculer la somme
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$
à coups de séries de Fourier ou d'intégrales à paramètre mais en connaissez-vous un accessible à un élève de terminale (ES en l'occurence) ?

La somme de la série est vu comme limite de la suite des sommes partielles ; ils n'ont aucun résultat sur les séries. On a juste montrer la convergence grâce au théorème sur les suites adjacentes.

Merci de votre réponse,

Hadrien
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
accessible en Terminale ES ? Certainement pas.
Même les preuves les plus "élémentaires" (comme celle de Papadimitriou, voir fichier joint) nécessitent un bagage minimum sur les fonctions trigonométriques.
[attachment 5666 papadimitriou.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - papadimitriou.pdf (139 KB)
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Pas sûr Aleg. Je me souviens vaguement d'une preuve astucieuse à base d'intégrales simples. Mais c'est plutôt du niveau prépa que du niveau ES.
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
TES, laisse tomber, ils n'ont que rarement l'esprit mathématique (démontrer ce qu'on affirme). Pour les TS...?

Bah je viens de jeter un oeil sur papadimitriou... Ce sont des pages de calculs!
En principe, et même si {\bf personne} ne l'a trouvée, il existe surement une preuve accessible à des TS qui soit {\bf agréable}. Cela résulte de différents phénomènes logiques que je ne peux qu'évoquer avec un argument d'autorité.

Alors c'est clair que ça ne donnerait pas un grosse récompense à qui la trouverait, mais bon...

Essaye quand-même de chercher à paver un carré de côté $\pi$ avec 6 fois cette somme. Au nom de {\it l'élimination des coupûres}, quelque chose me dit que ce pavage (simple, enfin relativement) existe et que tu impressionneras ton prochain sur ce forum si tu le trouves. En "enroulant" le carré tu obtiens un cylindre de diamètre égal à 1, la somme des carré des $\frac{1}{n}$ évoque pythagore (en dimension quelqconque)

Bref.. la seule chose que je peux {\bf te certifier} (pour des raisons générales de logique mathématique) c'est qu'un pavage élégant {\bf existe} qui établit la formule sans calcul trop difficiles, mais c'est juste pour doper ta motivation: je n'ai aucune idée de comment le trouver...
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
ah bon, je ne sais pas.
Du calcul d'intégrales "simples", sans aucun changement de variable, qui permettrait d'obtenir la valeur $\pi ^2/6$, je ne vois vraiment pas.
incognito
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Il y a quelques années, au concours dit des "petites mines", il y a eu une preuve à base d'intégrales relativement simples de ce résultat. Il y a beaucoup de broderie pour en faire un problème, mais cela peut sans doute être simplifié.
[attachment 5667 m95bc1ea.pdf]
Pièces jointes:
ouvrir | télécharger - m95bc1ea.pdf (101.8 KB)
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Pour faire écho à RAJ, voici un moyen de s'en tirer avec une intégrale simple, mais qui nécessite trop de connaissances pour une terminale:

1) Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$; montrer que $\diplaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\cos(nx)\mathrm{d}x=0$.

2) Trouver deux constantes réelles $a$ et $b$ telles que
\[\forall n\in\N^*,\ \int_{0}^{\pi}(ax^2+bx)\cos(nx)\mathrm{d}x=\frac{1}{n^2}\textnormal{.}\]

3) On pose pour $n\in\N,\ s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$; déterminer $\lim_{+\infty}s_n$.
incognito
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
oui skilveg, c'est exactement le problème que j'ai posté plus haut en fichier attaché.
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
c'est ça que j'ai à mon dm smiling smiley
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Moi, j'aime bien le papier de Papadimitriou, puis celui d'Apostol le généralisant, articles fournis aimablement par Aleg, que je tenais à remercier et à saluer...

J'étais justement en train de réfléchir à la même question que celle d'Hadrien, et voici quelques éléments de réflexion :

1. Il y a trois ans, j'ai fait un DM, pour mes TS, calculantT $\zeta(2)$ avec l'utilisation du noyau de Dirichlet (voir l'une des preuves de R. Chapman). Cela peut passer, moyennant une inégalité d'Ostrowski qu'il faut admettre à ce niveau-là.

2. Si on admet le calcul de la somme des carrés des cotangentes du papier de Papadimitriou (calcul qu je n'ai pas encore réussi à mettre au niveau TS), alors le reste est largement du niveau TS.

Borde.
bs
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
avatar
Sujet du bac C Aix-Marseille 1981
Ref: Magnard - Analyse - p322 - pb 55.
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Je crois bien que c'est celle là dont je parlais. Je vérifierai demain (elle doit figurer dans les exos du Lelong-Ferrand Arnaudies).
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Bonjour et merci pour ces réponses.

En fait une connaissance a posé ce problème à ces Term S pour les "amuser" en croyant que c'était faisable ; elle s'est retrouvé bien coincée...

Si vous avez d'autres idées n'hésitez pas,

Hadrien
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
avatar
Bonjour,

Montrer à un élève de Terminale que
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}&\to\infty,\\
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}&\to\ell,
\end{align*}
je trouve que c'est déjà pas mal. Et on peut faire ça de façon très rigoureuse. Ca peut casser quelques idées fausses sur les limites.
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
>Hadrien : s'agit-il de Terminales S (dernier message) ou de Terminales ES (message initial) ?
(car je ne pense pas qu'il y ait de fcts trigonométriques au programme de ES).

>RAJ : si, par "intégrales simples", vous faisiez allusion à la méthode que Skilveg a rappelée dans son message, oui, alors, vous aviez raison : j'avais oublié l'existence de cette méthode. Mais la question 1 est difficile, voire impossible, à passer en Terminale (fct continue bornée sur un compact).

> Borde : merci de ton amical salut. Reçois le mien en retour.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par Aleg.
bs
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
avatar
Bonjour à tous,

Le sujet du bac C Aix-Marseille 1981 utilisait le noyau de Dirichlet, et dans l'énoncé, tout est à démontrer , rien ne doit être admis.

Malheureusement, pas de scan... et je ne peux donc comprendre pour quelles raisons, ce sujet ne pourrait plus être présenté au bac en 2007.
Vais essayer de l'envoyer par l'intermédiaire d'un ami, car ce topic revient régulièrement, et donc, régulièrement, cette question me taraude l'esprit
( pas trop quand-même !)

Bonne journée.
incognito
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Aleg a écrit:
Mais la question 1 est difficile, voire impossible, à passer en Terminale (fct continue bornée sur un compact).

Point besoin de continuité sur un compact. Intégration par parties, majoration d'une intégrale en valeur absolue, tout cela est au programme de terminale, mais bien entendu, il faut leur détailler!
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
incognito : justement, tu la majores comment ton intégrale ?
incognito
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Ben par : $$\left|\int_a^b f(x)\cos(nx)\,dx\right|\leq \frac{|f(a)|+|f(b)|}n+\frac{\int_a^b|f'(x)|\,dx}n$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par AD.
incognito
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Tiens, l'aperçu décoche le LaTeX !

[L'Aperçu ne marche pas encore sur le nouveau forum. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par AD.
anonyme
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Salut à tous,

Comment fait-on pour calculer les dérivées de $\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{\sin(t)}$

Merci d'avance
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
En prenant les formules données en cours, et en travaillant un tout petit peu, sans être hors sujet sur le forum.

Pour la démonstration par "intégrale simple", elle me semble déjà limite pour un TS.
A moins de beaucoup guider, évidemment... et encore, un bon TS AMHA :).
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Bonjour,

en réponse à Aleg,

il s'agit bien de Term. Scientifiques. En fait la question a eu deux intermédiaires avant de m'arriver et le bouche à oreille a transformé S en ES...

Hadrien
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
La démonstration avec les cotangentes carrées ne peut-elle pas se faire en terminale? Il me semble que ce qui pourrait poser problème tient juste dans la relation coefficients-racines, appliquée à des coefficients extrêmes d'un polynôme, ce qui peut se voir assez facilement... En contournant les problèmes de convexité on devrait pouvoir arriver à concocter un sujet accessible.
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Après quelques réflexions, j'en étais arrivé à ces points précis :

Relations coeff-racines inconnues,
Fonction cotangente pratiquement disparue,
Sommes de fonctions trigos assez peu présentes en classe (souvent par manque de temps).

ça fait pas mal d'impondérables...

Cependant, je continuerai à y réfléchir...plus tard !

Borde.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a treize années et a été effectuée par borde.
pg
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Il existe une démonstration parfaitement élémentaire qui utilise une identité basée sur des sinus au carré au lieu de relations coefficients-racines. Elle est présente à l'adresse~:

\lien{[homepage.univie.ac.at]}

C'est dans le §~1. L'auteur donne également une démonstration basée sur la même identité et sur l'échange limite/somme.
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
je viens de parcourir le fichier pdf. C'est une longue liste de calculs...

Perso, je trouve {\bf que le défi} serait de {\bf ne rien admettre} comme prérequis trigonométriques... Parce que utiliser de la trigonométrie (qui elle-même est nettement plus puissante que "$\pi$ tout seul" pour prouver que la somme des inverses des carrés d'entiers vaut $\pi \times \pi :6$, c'est une forme de triche.

Seuls axiomes autorisés: $\pi$ est le nombre périmètre/diamètre pour tout cercle. Etc, etc... enfin tout ce qui est "géométrique" mais pas de dvlp limités et autres back ground de ce genre

C'est un peu comme certains "mauvais" manuels de 5e qui justifient que les figures ayant des diagoonales se coupant en leur milieu sont obligatoirement des parallélogrammes (côtés opposés parallèles) en utilisant le fait que les symétries centrales sont des rotations de 180 degrés et qu'elles transforment les doirtes en droites parallèles à leurs antécédentes, avec tout le background des rotations... Ok, ça "rend" plus sûr, mais c'est un peu tricher...

(non, non, je n'essaie pas de troler ce fil lol)
Utilisateur anonyme
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Salut spinning smiley sticking its tongue out

Une preuve géométrique, je ne pense pas, je crois qu'il n'existe pas quelque chose qu'on peut appeler preuve géométrique en mathématique!

On peut faire allusion à la preuve du théorème de phytagore se presentant comme le calcul de la surface d'un carré par deux méthodes. On ne peut pas appeler celà une preuve géométrique, car la géométrie elle même se réduit à l'analyse (géométrie analytique).

& :P
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
avatar
Très jolie, la preuve de ton pdf, pg.
Utilisateur anonyme
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
effectivement jolie !

La voici en dessous, pour qu'elle soit visible à tous.

& hot smiley
[attachment 5676 Sanstitre.JPG]


Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
avatar
C'est sympa &, mais il est dommage que tu ais amputé ce texte de la justification du passage à la limite qui suivait.
PB
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Le passage à la limite de la fin n'est pas de niveau terminal, ou alors c'est que le niveau augmente ;)
Utilisateur anonyme
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
En tant qu'élève de terminale:

après avoir montrer l'inégalité $x-x^{3}/6<\sin(x)<x$ pour $x>0$, par une simple étude de fonctions.

La limite en question est automatiquement:
$$\lim_{N->\infty}N\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2N}\right)=\frac{2}{(2k+1)\pi}$$

mmm?
& hot smiley
diane
Re: Somme des 1/n^2 en Term ??
il y a treize années
Il y a une preuve purement accessible pour les élèves de terminale sans moyens d'analyse, elle fait appel seulement aux nombres complexes et aux polynômes( relation de Vielt ...)



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