Somme des 1/n^2 en Term ??
Bonjour,
je connais les moyens classiques pour calculer la somme
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$
à coups de séries de Fourier ou d'intégrales à paramètre mais en connaissez-vous un accessible à un élève de terminale (ES en l'occurence) ?
La somme de la série est vu comme limite de la suite des sommes partielles ; ils n'ont aucun résultat sur les séries. On a juste montrer la convergence grâce au théorème sur les suites adjacentes.
Merci de votre réponse,
Hadrien
je connais les moyens classiques pour calculer la somme
$$\sum_{n=1}^{+\infty} \dfrac{1}{n^2}$$
à coups de séries de Fourier ou d'intégrales à paramètre mais en connaissez-vous un accessible à un élève de terminale (ES en l'occurence) ?
La somme de la série est vu comme limite de la suite des sommes partielles ; ils n'ont aucun résultat sur les séries. On a juste montrer la convergence grâce au théorème sur les suites adjacentes.
Merci de votre réponse,
Hadrien
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Réponses
Même les preuves les plus "élémentaires" (comme celle de Papadimitriou, voir fichier joint) nécessitent un bagage minimum sur les fonctions trigonométriques.
Bah je viens de jeter un oeil sur papadimitriou... Ce sont des pages de calculs!
En principe, et même si {\bf personne} ne l'a trouvée, il existe surement une preuve accessible à des TS qui soit {\bf agréable}. Cela résulte de différents phénomènes logiques que je ne peux qu'évoquer avec un argument d'autorité.
Alors c'est clair que ça ne donnerait pas un grosse récompense à qui la trouverait, mais bon...
Essaye quand-même de chercher à paver un carré de côté $\pi$ avec 6 fois cette somme. Au nom de {\it l'élimination des coupûres}, quelque chose me dit que ce pavage (simple, enfin relativement) existe et que tu impressionneras ton prochain sur ce forum si tu le trouves. En "enroulant" le carré tu obtiens un cylindre de diamètre égal à 1, la somme des carré des $\frac{1}{n}$ évoque pythagore (en dimension quelqconque)
Bref.. la seule chose que je peux {\bf te certifier} (pour des raisons générales de logique mathématique) c'est qu'un pavage élégant {\bf existe} qui établit la formule sans calcul trop difficiles, mais c'est juste pour doper ta motivation: je n'ai aucune idée de comment le trouver...
Du calcul d'intégrales "simples", sans aucun changement de variable, qui permettrait d'obtenir la valeur $\pi ^2/6$, je ne vois vraiment pas.
1) Soit $f$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $[a,b]$; montrer que $\diplaystyle\lim_{n\rightarrow+\infty}\int_{a}^{b}f(x)\cos(nx)\mathrm{d}x=0$.
2) Trouver deux constantes réelles $a$ et $b$ telles que
\[\forall n\in\N^*,\ \int_{0}^{\pi}(ax^2+bx)\cos(nx)\mathrm{d}x=\frac{1}{n^2}\textnormal{.}\]
3) On pose pour $n\in\N,\ s_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}$; déterminer $\lim_{+\infty}s_n$.
J'étais justement en train de réfléchir à la même question que celle d'Hadrien, et voici quelques éléments de réflexion :
1. Il y a trois ans, j'ai fait un DM, pour mes TS, calculantT $\zeta(2)$ avec l'utilisation du noyau de Dirichlet (voir l'une des preuves de R. Chapman). Cela peut passer, moyennant une inégalité d'Ostrowski qu'il faut admettre à ce niveau-là.
2. Si on admet le calcul de la somme des carrés des cotangentes du papier de Papadimitriou (calcul qu je n'ai pas encore réussi à mettre au niveau TS), alors le reste est largement du niveau TS.
Borde.
Ref: Magnard - Analyse - p322 - pb 55.
En fait une connaissance a posé ce problème à ces Term S pour les "amuser" en croyant que c'était faisable ; elle s'est retrouvé bien coincée...
Si vous avez d'autres idées n'hésitez pas,
Hadrien
Montrer à un élève de Terminale que
\begin{align*}
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}&\to\infty,\\
\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2}&\to\ell,
\end{align*}
je trouve que c'est déjà pas mal. Et on peut faire ça de façon très rigoureuse. Ca peut casser quelques idées fausses sur les limites.
(car je ne pense pas qu'il y ait de fcts trigonométriques au programme de ES).
>RAJ : si, par "intégrales simples", vous faisiez allusion à la méthode que Skilveg a rappelée dans son message, oui, alors, vous aviez raison : j'avais oublié l'existence de cette méthode. Mais la question 1 est difficile, voire impossible, à passer en Terminale (fct continue bornée sur un compact).
> Borde : merci de ton amical salut. Reçois le mien en retour.
Le sujet du bac C Aix-Marseille 1981 utilisait le noyau de Dirichlet, et dans l'énoncé, tout est à démontrer , rien ne doit être admis.
Malheureusement, pas de scan... et je ne peux donc comprendre pour quelles raisons, ce sujet ne pourrait plus être présenté au bac en 2007.
Vais essayer de l'envoyer par l'intermédiaire d'un ami, car ce topic revient régulièrement, et donc, régulièrement, cette question me taraude l'esprit
( pas trop quand-même !)
Bonne journée.
Mais la question 1 est difficile, voire impossible, à passer en Terminale (fct continue bornée sur un compact).
Point besoin de continuité sur un compact. Intégration par parties, majoration d'une intégrale en valeur absolue, tout cela est au programme de terminale, mais bien entendu, il faut leur détailler!
[L'Aperçu ne marche pas encore sur le nouveau forum. AD]
Comment fait-on pour calculer les dérivées de $\dfrac{1}{t}-\dfrac{1}{\sin(t)}$
Merci d'avance
Pour la démonstration par "intégrale simple", elle me semble déjà limite pour un TS.
A moins de beaucoup guider, évidemment... et encore, un bon TS AMHA .
en réponse à Aleg,
il s'agit bien de Term. Scientifiques. En fait la question a eu deux intermédiaires avant de m'arriver et le bouche à oreille a transformé S en ES...
Hadrien
Relations coeff-racines inconnues,
Fonction cotangente pratiquement disparue,
Sommes de fonctions trigos assez peu présentes en classe (souvent par manque de temps).
ça fait pas mal d'impondérables...
Cependant, je continuerai à y réfléchir...plus tard !
Borde.
\lien{http://homepage.univie.ac.at/josef.hofbauer/02amm.pdf}
C'est dans le §~1. L'auteur donne également une démonstration basée sur la même identité et sur l'échange limite/somme.
Perso, je trouve {\bf que le défi} serait de {\bf ne rien admettre} comme prérequis trigonométriques... Parce que utiliser de la trigonométrie (qui elle-même est nettement plus puissante que "$\pi$ tout seul" pour prouver que la somme des inverses des carrés d'entiers vaut $\pi \times \pi :6$, c'est une forme de triche.
Seuls axiomes autorisés: $\pi$ est le nombre périmètre/diamètre pour tout cercle. Etc, etc... enfin tout ce qui est "géométrique" mais pas de dvlp limités et autres back ground de ce genre
C'est un peu comme certains "mauvais" manuels de 5e qui justifient que les figures ayant des diagoonales se coupant en leur milieu sont obligatoirement des parallélogrammes (côtés opposés parallèles) en utilisant le fait que les symétries centrales sont des rotations de 180 degrés et qu'elles transforment les doirtes en droites parallèles à leurs antécédentes, avec tout le background des rotations... Ok, ça "rend" plus sûr, mais c'est un peu tricher...
(non, non, je n'essaie pas de troler ce fil lol)
Une preuve géométrique, je ne pense pas, je crois qu'il n'existe pas quelque chose qu'on peut appeler preuve géométrique en mathématique!
On peut faire allusion à la preuve du théorème de phytagore se presentant comme le calcul de la surface d'un carré par deux méthodes. On ne peut pas appeler celà une preuve géométrique, car la géométrie elle même se réduit à l'analyse (géométrie analytique).
& :P
La voici en dessous, pour qu'elle soit visible à tous.
& X:-(
après avoir montrer l'inégalité $x-x^{3}/6<\sin(x)<x$ pour $x>0$, par une simple étude de fonctions.
La limite en question est automatiquement:
$$\lim_{N->\infty}N\sin\left(\frac{(2k+1)\pi}{2N}\right)=\frac{2}{(2k+1)\pi}$$
mmm?
& X:-(