Fonctions Elliptiques/ Intégrales elliptiques

bonjour bs, dans {\it Elliptic curves}, chez CUP, MCKean et Moll ont un chapitre intitulé:
"Elliptic integrals: where they come from.

Dans {\it Analytic function theory, tome 2 page 118-122}, Einar Hille définit la notion d'intégrale elliptique à partir du calcul d'intégrales de fonctions algébriques.

Pour reprendre la première référence qui indique les emplois historiques que tu as cités d'intégrales elliptiques , l'idée générale est la suivante:

si $Q \in \C[X] \text{ de degré {\b d }inférieur ou égal à 4 et } y = \sqrt{Q(x)} \text{ et si } F=F(x,y) \text{ est une fonction rationnelle de } (x,y)$, alors $ \int F(x,y) dx$ est soit exprimable en termes de fonctions élémentaires soit est appelée {\b intégrale elliptique}.
Suit une discussion suivant le degré {\b d } de $Q$ et l'ordre de multiplicité de ses racines.

A mon avis, le livre de MCKean et Moll est très informatif sur cette question et fait la synthèse de pas mal de problèmes qui peuvent t'intéresser.

Pour répondre à la question posée, la fonction P de Weierstrass est une fonction
elliptique qui peut s'exprimer à l'aide des fonctions elliptiques de Jacobi et donc il s'agit en fait de mettre en relation fonctions elliptiques et intégrales elliptiques; on a le fait suivant:

si $z = P(u)$ avec $P$ fonction de Weierstrass définie par exemple par sommation sur un réseau, on obtient:

$$u= \int_{\infty}^{z} \frac{dt}{\sqrt{4t^3-g_2t-g_3}}$$

$P$ est donc l'inverse d'une fonction définie par une intégrale elliptique dans le plan complexe avec:

$$\omega _1 = \int_{\infty}^{e_1} \frac{dt}{\sqrt{(t-e_1)(t-e_2)(t-e_3)}}$$

$$\omega _2 = \int_{e_1}^{e_2} \frac{dt}{\sqrt{(t-e_1)(t-e_2)(t-e_3)}}$$

avec $\omega _1$ et $\omega _2$ les périodes primitives du réseau et $e_1 \text{, }e_2 \text{, }e_3$ racines de $4t^3-g_2t-g_3=0$.

Une autre référence: {\it Complex functions: an algebraic and geometric viewpoint}
par Singerman et Jones toujours chez CUP, tout aussi sympathique que MCKean et Moll.
Une remarque finale: le texte fondateur de tout çà est dû à Tannery et Molk {\it Eléments de la théorie des fonctions elliptiques} réédité chez Chelsea en 1972.

En LaTeX \verb*=\wp= : $\wp$

rebonjour, effectivement, gb a raison de souligner l'idée d'obtenir les fonctions trigonométriques puis elliptiques comme réciproques d'intégrales de fonctions du type $\frac{1}{\sqrt{P(z)}}$ avec $P$ polynôme de degré inférieur ou égal à 4.

Une autre possibilité développée dans {\it Theory of complex functions } de R. Remmert chez Springer, pages 334 et suivantes est la construction de toutes ces fonctions via les séries d'Eisenstein:

$$\epsilon_k(z) = \sum_{\nu=-\infty}^{+\infty} \frac{1}{{(z + \nu)}^k}$$

qui interviennent aussi dans la définition des coefficients $g_2 \text{ et } g_3$ cités dans dans le message de 10:02:49.

Les séries d'Eisenstein sont introduites et développées dans le cours d'arithmétique de J.P. Serre.

bonsoir, je dois corriger une de mes affirmation: le bouquin référence au 19-ième siècle est:

Théorie des fonctions doublement périodiques et, en particulier, des fonctions elliptiques.
Briot, Charles; Jean Claude Bouquet.

Le laïus suivant est recopié du site Abebooks qui vend ce bouquin important pour l'histoire des maths...


Description du livre: Paris: Mallet - Bachelier, 1859., 1859. [Erste Auflage] 8°. XXIV, 342 pp., [2] Hübscher Mamorierter Pappbd., grüner handschrftl. R.schild, wenig berieben u. bestoßen. Innen weitgehend frisch. Vorsatz: "E. Abbe sm. l. Harald 4. Juni 1861 First edition of the early masterpiece by Briot/Bouquet. This is the copy that was send by Ernst Abbe (famous physicist and optician) to his friend Harald Schütz, as mention in a letter by Abbe to Schütz on 6. Mai 1861. In this letter Abbe compares the lectures by Riemann and Weierstrass, and gives the advice to his friend, that he should learn from Briot/ Bosquet's book: "Willst Du dieß, so werde ich Dir meinen Briot u. Bouquet schicken, wo die Sachen allerdings in Cauchy'scher Manier (der Riemann sich anschließt) dargestellt sind, der Dir aber wahrscheinlich gute Dienste leisten wird. (Ich kann ihn [the book] entbehren, da mehre Andere hier ihn ebenfalls besitzen, u. ich also nöthigenfalls von daher ihn haben kann)." Wahl/Wittig, 1986, Brief 22) // Charles Briot's father was Auguste Briot and he was merchant in the town of St Hippolyte. It was in this town in Doubs, Franche-Comté near the border with Switzerland that Charles, the oldest child of his parents large family, was born. His father Auguste was a well respected citizen of St Hippolyte where he was involved in the tanning trade as part of the production and manufacture of leather. Charles was left with a stiff arm after a childhood accident and so he needed to train for an occupation where his disability would not hamper him too badly. At school he realised that mathematics was the subject for him so his first intention was to become a mathematics school teacher. He made friends at school with another young man who was equally keen on mathematics, namely Claude Bouquet. Briot was two years ahead of Bouquet at school and after leaving in 1837he taught for a year. He sat the entrance examinations for the École Normale Supérieure in Paris and was placed second in these highly competitive entrance examinations. He went to Paris in 1838 and entered the École Normale Supérieure now one year ahead of his school friend Claude Bouquet who joined him there the following year. In 1841 Briot completed the course for the agrégation in mathematics and he had improved on his position as the second best student which he achieved when he entered, for now he was placed first. He obtained his doctorate in March 1842 for a dissertation on the orbit of a solid body around a fixed point. At this stage his friend Bouquet had caught up with him, for he graduated in the same year with a doctoral thesis on variation of double integrals. Despite his marked academic success in research, Briot still wanted to follow his chosen career as a teacher and it was as a teacher of mathematics in a Lycée that he began his career. He was first appointed as Professor at the Orléans Lycée, where he worked for a while before obtaining a post at the University of Lyon. While there he met again his school friend Bouquet who had followed a similar career path but had been at a Lycée in Marseilles before his appointment to the University of Lyon. From this time on the two school friends began a collaboration on analysis which was to last throughout their careers and result in many joint publications. In 1851 Briot returned to Paris where he taught at various Lycées. The first was the Lycée Bonaparte which would later be renamed the Lycée Condorcet. At this Lycée, Briot taught the special mathematics course designed to prepare pupils to take the entrance examinations for the École Normale Supérieure and the École Polytechnique. When Briot moved to the Lycée Saint-Louis he continued to teach the same special mathematics courses there. His teaching was not restricted to the Lycées, however, for he also acted as substitute for various courses at the École Polytechnique and at the Faculté des Sciences. He taught engineering and surveying in the year he moved back to Paris, then he taught a calculus course in 1853,etc.

Certains on accusé Briot et Bouquet de ne faire que recopier les idées de Liouville mais personnellement, je n'en sais rien...

Sur Gallica, il y a également l'ouvrage de P.Appell "Principes de la théorie des fonctions elliptiques et applications".

C'est bizarre, je ne trouve pas cette référence sur Briot et Bouquet

Merci Galax. J'ai du faire une fausse manoeuvre ; j'ai récupéré un manuel de géométrie élémentaire et un de géométrie analytique.

BS: comme tu l'as écrit elles interviennent aussi pour la lemniscate, on ne les appelle pas fonctions lemnicastiques pour autant. Tu n'as pas compris ce que j'ai dit, bien sûr le calcul de la longueur d'arc sur une ellipse est une intégrale elliptique mais il me semble que ce n'est pas à cause de celà que l'on les appelle ainsi (comme dirais Serre dans la vidéo, voir Jacobi+Euler GesammelteWerke).
Ceci dit je me suis peut-être trompé, ce n'est peut-être pas Jacobi la première référence. Ceci dit tu noteras que dans le dit livre de Legendre les fonctions elliptiques comme fonctions doublement périodiques sont absentes (autant que je me souvienne) et par ailleurs qu'en 1826, sauf anachronisme de ma part, Legendre connaissait sûrement le travail de Jacobi par l'intermédiaire de Abel.
(Il faudrait verifier toutes ces affirmations que je fais un peu à la va-vite)
Mauricio.