nature d'une suite
Bonjour\\
Je souhaite avoir une solution à cet exercice \
\\
Quelle est la natrue de la suite
$$u_n=\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{(n-1)+\sqrt{n}}}}$$
c'est une suite croissante.
Une "intuition" me dit qu'elle tend vers $+\infty$,
une autre me dit que
$u_n\sim \alpha_n n^{1/2n}$ qui a des chances de converger si $\alpha_n$ reste bornée ($n^{1/2n}\rightarrow 1$).
J'ai essayé de montrer que $u_n^2$ est de Cauchy, amis sans succès!
j'aurais besoin d'un bon encadrement de type, pour $a,x>0$ :
$\sqrt{a+x}\leq\sqrt{a}+\frac{x}{2\sqrt{a}}$\\
$\sqrt{a+x}\geq\sqrt{a}+\frac{x}{2\sqrt{a}}-\frac{x^2}{8a\sqrt{a}}$
et d'utiliser ensuite une récurrene...
Merci pour vos réponses.
Je souhaite avoir une solution à cet exercice \
\\
Quelle est la natrue de la suite
$$u_n=\sqrt{1+\sqrt{2+...+\sqrt{(n-1)+\sqrt{n}}}}$$
c'est une suite croissante.
Une "intuition" me dit qu'elle tend vers $+\infty$,
une autre me dit que
$u_n\sim \alpha_n n^{1/2n}$ qui a des chances de converger si $\alpha_n$ reste bornée ($n^{1/2n}\rightarrow 1$).
J'ai essayé de montrer que $u_n^2$ est de Cauchy, amis sans succès!
j'aurais besoin d'un bon encadrement de type, pour $a,x>0$ :
$\sqrt{a+x}\leq\sqrt{a}+\frac{x}{2\sqrt{a}}$\\
$\sqrt{a+x}\geq\sqrt{a}+\frac{x}{2\sqrt{a}}-\frac{x^2}{8a\sqrt{a}}$
et d'utiliser ensuite une récurrene...
Merci pour vos réponses.
Réponses
-
En utilisant le fait que $n \leq 2^{2^n}$, tu devrais pouvoir obtenir une majoration de ta suite...
-
Bonjour,
Quelle est la limite de la suite ?
Je trouve par itération 1,757932756618.
Ce nombre est il la valeur approchée d'une expression ? -
bonjour, cet exercice est traité avec une généralisation page 38 dans {\it Topologie, analyse} de G. Flory (Vuibert) 1976 (il était prof en M' à LLG).
Il conseille de majorer simplement ${(u_{n+1})}^2$ en fonction de $u_n$.
Bon courageA demon wind propelled me east of the sun -
C'est la suite de Ramanujan, qui converge vers 3?
-
Une solution rédigée :
On introduit la suite de terme général $a_n = 2^{2^n}$, la suite de terme général
$$v_n = \sqrt{1+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{(n-1)+\sqrt{n+2a_n}}}},$$
et la fonction définie pour $x \geq 0$ par :
$$f(x) = \sqrt{1+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{(n-1)+\sqrt{n+x}}}}.$$
La fonction $f$ est croissante avec :
$$u_n = f(0) \quad ; \quad u_{n+1} = f(\sqrt{n+1}) \quad ; \quad v_n =f(2a_n) \quad ; \quad v_{n+1} = f(\sqrt{n+1+2a_{n+1}}).$$
On a immédiatement $0 \leq \sqrt{n+1} \leq \sqrt{n+1+2a_{n+1}}$ donc :
$$u_n \leq u_{n+1} \leq v_{n+1}.$$
L'intérêt de la suite $a_n$ est la relation de récurrence $a_{n+1} = a_n^2$, de laquelle on déduit
$$2a_n - \sqrt{n+1+2a_{n+1}} = \dfrac{4a_n^2 - (n+1+2a_{n+1})}{2a_n + \sqrt{n+1+2a_{n+1}}} = \dfrac{2a_{n+1} - (n+1)}{a_n + \sqrt{n+1+a_{n+1}}} \geq 0,$$
c'est-à-dire $\sqrt{n+1+a_{n+1}} \leq a_n$, et finalement :
$$v_{n+1} \leq v_n.$$
Tout ce qui précède prouve que la suite $u_n$ est croissante, majorée par $v_1$, donc convergente. -
Bonjour,
En plus de la référence de Gilles : Flory, il y a aussi:
--> RDO : Ex 128 p17 ( pour la généralisation )
--> "L'Art du problème" de Cozar-Favennec; pb sur la suite des racines itérées p57, ( très intéressant ).
La méthode de gb n'est pas celle retenue,tout en étant efficace .
JFS: oui, la limite est 1,757932756618 et après 0045327088....
Pilz : ce n'est donc pas la suite de Ramanujan ; à quoi pensais-tu ? merci.
Bonne journée. -
bonsoir bs, par curiosité, ce "Cozar-Favennec" vaut-il le détour?
Merci d'avance.
GillesA demon wind propelled me east of the sun -
Bonjour,
La suite $(u_{n})_{n}$ est strictement croissante. Elle est donc convergente si, et seulement si elle est majorée. Or, on a : $$u_{n+1}^{2}=1+\sqrt{2+\sqrt{3+....+\sqrt{n}}}\leq 1+\sqrt{2}\,u_{n}\leq (1+\sqrt{2})u_{n}$$
Par conséquent : $$u_{n+1}\leq \alpha\,\sqrt{u_{n}}$$ avec $$\alpha=\sqrt{1+\sqrt{2}}$$
Par une récurrence immédiate, on a donc :
$$\forall n\geq 1, u_{n}\leq \alpha^{2}=1+\sqrt{2}$$
Ainsi, la suite $(u_{n})_{n}$ est-elle majorée. Donc, elle est convergente.
Amicalement.
Olivier. -
Bonjour Gilles,
Oui, j'aime beaucoup; maintenant, il est vrai que rares sont les livres de maths qui ne me plaisent pas.
D'abord la couverture: "L'École d'Athènes" de Raphaël ( détail avec les géomètres).
Ensuite 14 problèmes : que du classique ,mais avec à chaque fois un approfondissement, puis une application Maple. Quelques sujets:
>Morley
>Bezout en positifs
>le sujet de ce fil généralisé:
$$u_n=\sqrt{a_0+\sqrt{a_1+...+\sqrt{a_{n-1}+\sqrt{a_n}}}}}$$
la méthode de Reï est celle de ce livre.
>Développement factoriel
>caractérisation des matrices de trace nulle
>$\triangle(f)=f$ [ Laplacien]
>équation fonctionnelle : résoudre $f(x+1)-f(x)=g(x)$ , $g$ donné.
Maintenant, il me parait nécessaire de rappeler que nous ne "jouons" pas dans la même division, et qu'une appréciation est toujours subjective.
Amicalement. -
bonjour, bs et merci pour cette réponse; je dirais bien qu'il y a longtemps que je ne joue plus dans aucune division; on peut apprendre dans les livres de problèmes surtout s'ils ont un côté original ( et non de simples travestis de problèmes de concours et encore...); la méthode de Reï est celle qui est développée dans Flory mais je pense que cette série de bouquins est épuisée depuis belle lurette.
Bon dimancheA demon wind propelled me east of the sun -
bonjour,
$\displaystyle u_n=\sqrt{a_0+\sqrt{a_1+...+\sqrt{a_{n-1}+\sqrt{a_n}}}}$
est traité dans le livre de G.Polya, G.Szegö: Problèmes and Theorems in Analysis I
(la première édition date de 1924) ex.162, 163 pg.37 et il y est précisé que Polya a posé ce problème dans Arch. Math. Phys. Ser. 3, Vol.24(1916) et qu'il a été résolu par Szegö dans le Vol 25(1917) de la même revue.
Sinon un autre exercice avec une série de racines carrés en nombre "infinie":
$\displaystyle u_n=a_0\sqrt{2+a_1\sqrt{2+...+a_{n-2}\sqrt{2+a_{n-1}\sqrt{2+a_n\sqrt{2}}}}}$
avec $a_i$ prenant une de trois valeurs: -1, 0 , 1
est proposé dans le même livre.
Sincèrement,
Galax
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Bonjour!
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