question triviale ou non ?

Sasha · February 2007

Soit $\vartheta=(\vartheta_i)_i$ une suite de réels ou de vecteurs de $\mathbb{R}^n$ telle que $\lim_{i\rightarrow +\infty} \| \vartheta_{i+1} - \vartheta_i \|=0$, que peut-on dire de l'ensemble des valeurs d'adhérences de $\vartheta$ ? Est-il discret ?

Merci !

Le Furet · February 2007

Si je me souviens bien, dans le cas réel, on peut dire que l'ensemble des valeurs d'adhérence est un intervalle (éventuellement vide)

Sasha · February 2007

quelle rapidité !

egoroff · February 2007

Oui, et dans $\R^n$ on peut dire qu'il est connexe par arcs. C'est plutôt le contraire de discret.

Sasha · February 2007

(tu) merci

Sasha · February 2007

en tout cas l'adhérence est bornée, non?

egoroff · February 2007

Non ! Regarde l'ensemble des valeurs d'adhérence de la suite :
0, 1, 0, 1/2, 1, 3/2, 2, 3/2, 1, 1/2, 0, 1/4, 1/2, 3/4, ..., 7/2, 15/4, 4, 15/4, ..., 1/4, 0, 1/8, ...
(on monte de 0 à 2^n par pas de 1/2^n, puis on redescend jusqu'à 0 avec le même pas).

Sasha · February 2007

damned :X

bon tanpis merci quand même

bosio frederic0 · February 2007

Attention, il n'est pas forcement connexe dans R^n s'il n'est pas borne. Par exemple, dans R^2, on peut avoir deux droites (meme pour un champ de vecteurs).

christophe c · February 2007

Encore une fois, des réponses de voyants mais pas de preuve...

(1)Prends 2 valeurs d'adhérence $a,b$

(2)Soit n et p très grands tels que n<p et $u_n$ très proche de $a$ et $u_p$ très proche de $b$

(3)Regarde la suite $u_n,u_{n+1},..u_p$

(4) Rédige lol

corentinpasloggé · February 2007

Je vais un peu expliquer l'argument de Bosio (j'ai eu du mal à voir comment s'y prendre):
le truc est de prendre une suite qui parcourt $y=0$ et $y=1$, mais qui n'ait pas d'autres valeurs d'adhérence, en raccordant les deux droites de plus en plus loin.
A la n° étape on parcourt $([-n,n],0)$ avec un pas de longueur $1/n$. On raccorde alors la droite $y=1$ grace au segment $(n,[0,1])$ (avec encore des petits pas). Une fois qu'on a rejoint cette droite, on parcourt de $n$ à $-n-1$, et on redescend, etc...
Le truc étant qu'à chaque fois, on monte (ou descend) d'une droite à l'autre grâce à des segments qui sont de distance 2 à 2 égale à 1. Donc les seules valeurs d'adhérence sont bien les deux droites...