analyse hilbertienne, convergence faible

Salut,

A la question "est-il vrai que $||f||_p=\sup\limits_{g \in L^q, \, ||g||_q=1} \, \langle f,g \rangle$", j'ai envie de dire : oui, l'injection de $L^p$ dans $(L^q)'$ est une isométrie.

A la première question je ne sais pas répondre mais ça a l'air vrai.

Pas d'accord avec gilles, ça marche encore pour $p=\infty$ vu que le dual de $L^1$ est bien $L^{\infty}$, et ça marche encore pour $p=1$ vu que $L^1$ s'injecte isométriquement dans le dual de $L^{\infty}$ (très facile comme preuve de l'isométrie). En fait ça marche parce qu'un Banach $F$ s'injecte dans le dual $E'$ d'un autre et ce de manière isométrique, ce qui veut dire que $||f||_F=|| \iota(f) ||_{E'} = \sup\limits_{||x||_E=1} |f(x)|$.

Pour montrer ça sans Banach-Steinhaus je ne sais vraiment pas, tu peux toujours refaire la démonstration si tu as droit au théorème de Baire (et si tu n'as pas droit au théorème de Baire, tu le redémontres, mais ça commence à faire long !).

Il me semble que les arguments du type « il s'agit de l'isométrie entre le dual de $L^p$ et $L^q$ » se mordent la queue, car c'est précisément en démontrant l'égalité écrite que l'on montre que l'injection "canonique" de $L^q$ dans $(L^p)'$ est une isométrie. Mais si quelqu'un est capable d'exhiber une preuve de $L^q=(L^p)'$ sans utiliser que l'application en question est une isométrie, je suis très intéressé.

1° Le sens $\sup\limits_{|\!|g|\!|_q=1}\langle f,g\rangle_{p,q}\le |\!|f|\!|_p$ n'est rien d'autre que l'inégalité de Hölder.

2° D'autre part :
- pour $1<p<\infty$ le suprémum est atteint pour un $g$ de la forme $\lambda |f|^\alpha\mathrm{signe}(f)$ où $\alpha$ est le réel positif choisi de sorte que $\langle f,g\rangle_{p,q}=|\!|f|\!|_p^p$ (j'ai la flemme d'expliciter davantage; je crois que $\alpha=p-1$).
- pour $p=1$, le sup est atteint pour $g=\mathrm{signe f}$ dans $L^\infty$
- pour $p=\infty$, le sup n'est pas atteint. Pour l'approcher à $\eps>0$ près, il faut revenir à la définition du suprémum essentiel de $L^\infty$, et trouver un ensemble $A$ de mesure strictement positive et finie, tel que sur $A$, on a $|f|\ge |\!|f|\!|_\infty-\eps$, et choisir $g$ colinéaire à la fonction indicatrice de l'ensemble $A$.

Euh, s'il est vrai que "convergence faible implique convergence forte" est équivalent à "on est en dimension finie", mon argument n'est pas bon, car une suite $x_n$ libre et bornée ne tend pas forcément faiblement vers $0$. Je suis convaincu de mon affirmation, mais ne sais plus comment on la prouve...