l'intégrabilité

Bonjour,

Pourquoi pas ne pas envisager une fonction avec des pics de plus en plus grands, sur des largeurs de plus en plus petites, de façon à ce que la somme des aires converge ?


(Egoroff, le plus rapide)

on peut définir une telle fct $f$ ainsi : pour tout entier $n\geq 2$
- pour $x\in \left [ n-\frac{1}{n^2}\,; \,n\right ] $, on pose $f(x)=n^2x+1-n^3$.
- pour $x\in \left [ n\,; \,n+\frac{1}{n^2}\right ] $, on pose $f(x)=-n^2x+1+n^3$.
- pour tout autre $x$, on pose $f(x)=0$.
(faire un petit dessin !).

Il s'agit d'une fct continue, affine par morceaux, vérifiant $f(n)=1$.
En considérant la série de terme général
$$\int_{n-\frac{1}{n^2}}^{n+\frac{1}{n^2}}\,f(x)\,dx=\frac{1}{n^2}$$
on voit que $f$ est intégrable sur $[0\,;\,+\infty [$ et il est facile de justifier que $f$ n'admet pas de limite à l'infini.

yoo : Aleg t'a défini une fonction affine par morceaux donc la formule définissant ta fonction dépend de l'intervalle où tu te places
Du coup ,il écrit $\int_{0}^{+\infty}f=\sum_{n=0}^{+\infty}(\int_{n-\frac{1}{2}}^{n}f+\int_{n}^{n+\frac{1}{2}}f)$ et il calcule les deux intégrales facilement car la fonction $f$ est donnée par une formule facile à integrer sur ces intervalles

PS: la facon que j'ai de rédiger est plus que moyenne : on n'est pas sensé marquer tout de suite $\infty$ dans l'intégrale mais plutot calculer jusqu'à $N$ qu'on fait ensuite tendre vers $\infty$..



Aleg : je serais interessé par ta fonction intégrable non bornée si c'est pas trop pénible à rédiger (et sinon une explication de la tete qu'elle a me conviendrait parfaitement)


Et un truc qui à priori n'a rien à voir : j'ai voulu calculer avec maple l'intégrale sur $\R_+$ de $cos(x^2)$ (me rappelle jamais si on divise ou on multiplie par racine de 2 et par les résidus c'est un peu long) et il me répond avec des fonctions spéciales (FresnelC pour etre précis) que je ne connais évidemment pas : d'ou mon problème, comment on fait pour l'obliger à donner un "vrai" résultat?
Bon, à posteriori ca n'a rien à voir non plus mais ca doit pas etre nécessaire d'ouvrir un sujet pour ca

Merci egoroff, c'est vrai que c'était pas la peine d'aller chercher bien loin

Merci Egoroff, ça m'évite de taper une réponse : c'était exactement ce que je voulais dire.

Ryo : pour ton intégrale de Fresnel, on a
$$\int_0^{+\infty }\,e^{ix^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\,e^{i\frac{\pi }{4}}$$
donc
$$\int_0^{+\infty }\,\cos x^2\,dx=\frac{1}{2}\sqrt {\frac{\pi }{2}}$$

Maple utilise la fonction FresnelC définie par
FresnelC($X$)=$\int_0^X\,\cos \left ( \frac{ \pi x^2}{2} \right) \,dx$
donc il te répond FresnelC(infinity)=1/2.
Mais je ne sais pas comment le "forcer" à écrire un résultat qui n'utilise pas cette notation.

Ryo,
pour moi, ce que j'appelle "intégrale de Gauss" est :
$$\int_0^{+\infty}\,e^{-x^2}\,dx=\frac{1}{2}\sqrt{\pi }$$

mais celle dont je parlais est connue sous le nom d'intégrale de Fresnel :
$$\int_0^{+\infty }\,e^{ix^2}\,dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\,e^{i\frac{\pi }{4}}$$

(il existe plusieurs méthodes pour la calculer)