suite
Réponses
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C'est une somme de termes positifs.
$u_{n+1}-u_n = \frac 1 {\sqrt{k+(n+1)^2}} \geq 0$ -
Il ne me semble pas que cette valeur soit exacte :
$u_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$u_2 = \dfrac{1}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{6}}$
$u_3 = \dfrac{1}{\sqrt{10}} + \dfrac{1}{\sqrt{11}} + \dfrac{1}{\sqrt{12}}$
et les $u_{n+1}-u_n$ ne sont pas sympa, {\it a priori}... -
Il me semble que ce résultat est faux.
Je sèche toujours...
Hub -
Sans vouloir botter en touche, je voudrais savoir, Hubert, en quoi il t'importe de connaître les variations de cette suite si tu as déjà montré sa convergence.
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Tout simplement parce que la question de l'exo est de démontrer que cette suite est croissante...
Je suis en spé et je ne vois pas comment faire...
Merci d'avance -
J'ai réussi après moult calcul à montrer que $u_{n+1}-u_n \sim \frac{1}{4n^2}$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang... c'est déjà pas si mal.
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bonjour, pour obtenir la croissance de cette suite, il suffit d'encadrer séparément $u_n$ et $u_{n+1}$ à l'aide du principe de comparaison $\sum \text{ versus } \int$
sachant que:
$$\int_{p}^{q+1} \frac{dt}{\sqrt{t}} \leq \sum_{k=p}^{q} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq \int_{p-1}^{q} \frac{dt}{\sqrt{t}}$$
bon courage.A demon wind propelled me east of the sun -
Très cher Gilles Benson, presque autre moi-même sur ce forum...
Très bonne idée, tu as un encadrement par deux intégrales : $J_n \leq u_n \leq I_n$.
Si $I_n \leq J_{n+1}$, c'est tout bon, ... mais il me semble que l'on a $J_{n+1} \leq I_n$.
Me trompè-je ? -
bonjour gb, si cet exercice est donné en spé, il faut qu'il soit résoluble avec des techniques raisonnables; en emmenant mon labrador pour sa promenade de l'après-midi, il m'a semblé que c'était une voie possible pour répondre à cette question de SDV que je ne m'étais jamais posée (bien que je traite la convergence de cette suite chaque année ou presque depuis longtemps. Quelques calculs à la maison ont confirmé la viabilité de la chose.A demon wind propelled me east of the sun
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D'après mes calculs, ça marche bien par comparaison série-intégrale. Mais je me suis peut-être trompé... Je revérifie.
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bon, vu le fait que j'ai majoré au lieu de minorer l'une des deux quantités étudiée ma vérification simple tombe à l'eau; la remarque de gb paraît fondée.:-(A demon wind propelled me east of the sun
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Effectivement, j'ai vérifié mes calculs, et la comparaison série-intégrale naïve ne permet pas de conclure.
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Avec la technique de gilles je tombe sur $\frac{1}{2} (u_{n+1}-u_n) \geq \sqrt{n^2+3n+2}-\sqrt{n^2+2n+2}-\sqrt{n^2+n+1}+n$ qui a l'air négatif d'après Maple, et en tout cas négatif à l'infini d'après un DL, donc gb avait raison il me semble. Cependant je pense que c'est une bonne piste, il faudrait pouvoir minorer l'erreur commise en approchant la somme par une intégrale.
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En fait, il s'agit d'une inégalité de convexité. La fonction $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ est convexe, et pour tout $k$ on a
$$\frac{k}{n}=\frac{n-k}{n}\times \frac{k}{n+1}+\frac{k}{n}\times \frac{k+1}{n+1}$$
On en déduit dans la douleur et en réindexant soigneusement les sommes que
$$nu_n\leq \frac{n^2-1}{n}u_{n+1}+\frac{1}{n^2}\times\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n+1}{n+1}}}\leq nu_{n+1}$$
en utilisant aussi une minoration de $u_n$ par $\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n+1}{n+1}}}$. On en déduit la croissance de la suite.
Je ne crois pas que l'on puisse y arriver avec des comparaisons avec une intégrale.
Laotseu. -
Au passage, j'oubliais de préciser que $nu_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$. Remarque amusante : si on prend $v_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$, alors je pense par les mêmes arguments que $v_n$ est décroissante cette fois-ci...
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pour le coup, il me semble que:
$$nu_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}}$$
de sorte que je ne sais plus si on parle des mêmes suites?:SA demon wind propelled me east of the sun -
Tu as tout à fait raison. J'ai travaillé sur un énoncé complètement différent... Sympa, mais complètement différent. Ouin.
Laotseu, qui du coup réfléchira aussi au vrai énoncé... -
ceci dit la croissance de la suite que tu as étudiée (et qui est une somme de Riemann) n'était pas acquise d'avance non plus.A demon wind propelled me east of the sun
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Bon, là j'ai le bon énoncé. En fait, il faut transformer l'étude asymptotique menée par bisam en inégalités. Pour cela, on vérifie à l'aide de Taylor-Lagrange que
$$1-\frac{x}{2}\leq \frac{1}{1+x}\leq 1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8}x^2$$
Ceci conduit (sauf erreur) à
$$1-\frac{n+1}{4n^2}\leq u_n\leq 1-\frac{n+1}{4n^2}+\frac{(n+1)(2n+1)}{16n^4}$$
Et Maple qui calcule bien nous permet d'affirmer que
$$1-\frac{n+1}{4n^2}+\frac{(n+1)(2n+1)}{16n^4} \leq 1-\frac{n+2}{4(n+1)^2}$$
pour tout $n\geq 2$.
Si jamais il y a une erreur de calcul et que l'inégalité n'est pas la bonne, il suffit d'aller un peu plus loin dans le développement de Taylor.
Laotseu. -
Il faut évidemment lire $\frac{1}{\sqrt{1+x}}$ dans la première inégalité...
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