Je n'arrive pas à montrer que la suite définie par $$u_n=\sum_{k=1}^{n} \frac 1{\sqrt{k+n^2}}$$ est croissante...
Autant la convergence est facile à étudier autant je bute sur les variations.
Merci d'avance de votre aide.
Hub
Il ne me semble pas que cette valeur soit exacte :
$u_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$u_2 = \dfrac{1}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{6}}$
$u_3 = \dfrac{1}{\sqrt{10}} + \dfrac{1}{\sqrt{11}} + \dfrac{1}{\sqrt{12}}$
et les $u_{n+1}-u_n$ ne sont pas sympa, {\it a priori}...
Sans vouloir botter en touche, je voudrais savoir, Hubert, en quoi il t'importe de connaître les variations de cette suite si tu as déjà montré sa convergence.
Tout simplement parce que la question de l'exo est de démontrer que cette suite est croissante...
Je suis en spé et je ne vois pas comment faire...
Merci d'avance
J'ai réussi après moult calcul à montrer que $u_{n+1}-u_n \sim \frac{1}{4n^2}$ et donc la suite $(u_n)$ est croissante à partir d'un certain rang... c'est déjà pas si mal.
bonjour, pour obtenir la croissance de cette suite, il suffit d'encadrer séparément $u_n$ et $u_{n+1}$ à l'aide du principe de comparaison $\sum \text{ versus } \int$
sachant que:
bonjour gb, si cet exercice est donné en spé, il faut qu'il soit résoluble avec des techniques raisonnables; en emmenant mon labrador pour sa promenade de l'après-midi, il m'a semblé que c'était une voie possible pour répondre à cette question de SDV que je ne m'étais jamais posée (bien que je traite la convergence de cette suite chaque année ou presque depuis longtemps. Quelques calculs à la maison ont confirmé la viabilité de la chose.
bon, vu le fait que j'ai majoré au lieu de minorer l'une des deux quantités étudiée ma vérification simple tombe à l'eau; la remarque de gb paraît fondée.:-(
Avec la technique de gilles je tombe sur $\frac{1}{2} (u_{n+1}-u_n) \geq \sqrt{n^2+3n+2}-\sqrt{n^2+2n+2}-\sqrt{n^2+n+1}+n$ qui a l'air négatif d'après Maple, et en tout cas négatif à l'infini d'après un DL, donc gb avait raison il me semble. Cependant je pense que c'est une bonne piste, il faudrait pouvoir minorer l'erreur commise en approchant la somme par une intégrale.
En fait, il s'agit d'une inégalité de convexité. La fonction $x\mapsto \frac{1}{\sqrt{1+x}}$ est convexe, et pour tout $k$ on a
$$\frac{k}{n}=\frac{n-k}{n}\times \frac{k}{n+1}+\frac{k}{n}\times \frac{k+1}{n+1}$$
On en déduit dans la douleur et en réindexant soigneusement les sommes que
$$nu_n\leq \frac{n^2-1}{n}u_{n+1}+\frac{1}{n^2}\times\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n+1}{n+1}}}\leq nu_{n+1}$$
en utilisant aussi une minoration de $u_n$ par $\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n+1}{n+1}}}$. On en déduit la croissance de la suite.
Je ne crois pas que l'on puisse y arriver avec des comparaisons avec une intégrale.
Au passage, j'oubliais de préciser que $nu_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$. Remarque amusante : si on prend $v_n=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n}}}$, alors je pense par les mêmes arguments que $v_n$ est décroissante cette fois-ci...
Tu as tout à fait raison. J'ai travaillé sur un énoncé complètement différent... Sympa, mais complètement différent. Ouin.
Laotseu, qui du coup réfléchira aussi au vrai énoncé...
Bon, là j'ai le bon énoncé. En fait, il faut transformer l'étude asymptotique menée par bisam en inégalités. Pour cela, on vérifie à l'aide de Taylor-Lagrange que
$$1-\frac{x}{2}\leq \frac{1}{1+x}\leq 1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8}x^2$$
Ceci conduit (sauf erreur) à
$$1-\frac{n+1}{4n^2}\leq u_n\leq 1-\frac{n+1}{4n^2}+\frac{(n+1)(2n+1)}{16n^4}$$
Et Maple qui calcule bien nous permet d'affirmer que
$$1-\frac{n+1}{4n^2}+\frac{(n+1)(2n+1)}{16n^4} \leq 1-\frac{n+2}{4(n+1)^2}$$
pour tout $n\geq 2$.
Si jamais il y a une erreur de calcul et que l'inégalité n'est pas la bonne, il suffit d'aller un peu plus loin dans le développement de Taylor.
Laotseu.
Réponses
$u_{n+1}-u_n = \frac 1 {\sqrt{k+(n+1)^2}} \geq 0$
$u_1 = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$
$u_2 = \dfrac{1}{\sqrt{5}} + \dfrac{1}{\sqrt{6}}$
$u_3 = \dfrac{1}{\sqrt{10}} + \dfrac{1}{\sqrt{11}} + \dfrac{1}{\sqrt{12}}$
et les $u_{n+1}-u_n$ ne sont pas sympa, {\it a priori}...
Je sèche toujours...
Hub
Je suis en spé et je ne vois pas comment faire...
Merci d'avance
sachant que:
$$\int_{p}^{q+1} \frac{dt}{\sqrt{t}} \leq \sum_{k=p}^{q} \frac{1}{\sqrt{k}} \leq \int_{p-1}^{q} \frac{dt}{\sqrt{t}}$$
bon courage.
Très bonne idée, tu as un encadrement par deux intégrales : $J_n \leq u_n \leq I_n$.
Si $I_n \leq J_{n+1}$, c'est tout bon, ... mais il me semble que l'on a $J_{n+1} \leq I_n$.
Me trompè-je ?
$$\frac{k}{n}=\frac{n-k}{n}\times \frac{k}{n+1}+\frac{k}{n}\times \frac{k+1}{n+1}$$
On en déduit dans la douleur et en réindexant soigneusement les sommes que
$$nu_n\leq \frac{n^2-1}{n}u_{n+1}+\frac{1}{n^2}\times\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n+1}{n+1}}}\leq nu_{n+1}$$
en utilisant aussi une minoration de $u_n$ par $\frac{1}{\sqrt{1+\frac{n+1}{n+1}}}$. On en déduit la croissance de la suite.
Je ne crois pas que l'on puisse y arriver avec des comparaisons avec une intégrale.
Laotseu.
$$nu_n= \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{k}{n^2}}}$$
de sorte que je ne sais plus si on parle des mêmes suites?:S
Laotseu, qui du coup réfléchira aussi au vrai énoncé...
$$1-\frac{x}{2}\leq \frac{1}{1+x}\leq 1-\frac{x}{2}+\frac{3}{8}x^2$$
Ceci conduit (sauf erreur) à
$$1-\frac{n+1}{4n^2}\leq u_n\leq 1-\frac{n+1}{4n^2}+\frac{(n+1)(2n+1)}{16n^4}$$
Et Maple qui calcule bien nous permet d'affirmer que
$$1-\frac{n+1}{4n^2}+\frac{(n+1)(2n+1)}{16n^4} \leq 1-\frac{n+2}{4(n+1)^2}$$
pour tout $n\geq 2$.
Si jamais il y a une erreur de calcul et que l'inégalité n'est pas la bonne, il suffit d'aller un peu plus loin dans le développement de Taylor.
Laotseu.