Variations du module de P(z) sur un ouvert.

Cela me fait penser au principe du maximum (sans garantie).

Principe du maximum : soit U un ouvert de C et f une fonction de U dans C. Si f est harmonique, en particulier si f est holomorphe, en particulier si f est un polynôme, alors : si |f| a un maximum, f est constante.

PS : je ne suis plus très sûr, mais si c'est faux, quelqu'un de bien informé le dira

PS : donc, en gros, tu dois démontrer le principe du maximum (pour un polynôme). Je ne t'aide pas beaucoup !

Bonjour, c'est effectivement le principe du maximum qui peut se démontrer à la main pour un polynöme sans difficulté :
Une petite aide : Si $\deg P = n$ et $z=z_0+h$
$$P(z) = P(z_0+h)= \sum_{k=0}^{n} a_k h^k$$
et :
$$\int_{0}^{2 \pi} P(z_0+he^{it}) \mathrm dt =\ldots$$
si $U$ est un ouvert de $\C$ et $z_0 \in U$, alors $\exists r>0 \text{ tel que } B(z_0;r) \subset U$.

Bon courage