Un exercice que je n'arrive pas à résoudre sans faire de calculs horribles (que du coup je n'ai pas fait): Soit P un polynôme à coefficients complexes et U un ouvert de C.
Montrer que le sup/U du module de P(z) est égal au sup/Fr(U) du module de P(z).
Réponses
PS : je ne suis plus très sûr, mais si c'est faux, quelqu'un de bien informé le dira
PS : donc, en gros, tu dois démontrer le principe du maximum (pour un polynôme). Je ne t'aide pas beaucoup !
Une petite aide : Si $\deg P = n$ et $z=z_0+h$
$$P(z) = P(z_0+h)= \sum_{k=0}^{n} a_k h^k$$
et :
$$\int_{0}^{2 \pi} P(z_0+he^{it}) \mathrm dt =\ldots$$
si $U$ est un ouvert de $\C$ et $z_0 \in U$, alors $\exists r>0 \text{ tel que } B(z_0;r) \subset U$.
Bon courage