Fonction generatrice

Bonjour,

On considère les polynomes $T_n$, de Tchebychev. On montre facilement que la série génératrice de ces polynômes est $\sum_n T_n(x) z^n = \dfrac{1-xz}{1+z^2-2xz}$.

Une fois cela fait, on me demande de démontrer la formule de récurrence $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ (je n'ai pas la feuille sous la main). Mais on me demande de le faire en utilisant la formule de Cauchy.

Alors là, je dois avouer que je ne sais pas faire. J'ai, je pense, a peu près tout essayé, mais rien de marche. On écrit $\displaystyle 2 \pi r^n T_n(x) = \int_0^{2 \pi} F(r e^{i \theta},x) e^{-i n \theta}\,\mathrm d\theta$, avec $F(z,x)$ la fonction génératrice. Après, j'ai essayé de dériver par rapport à $x$, à $z$, à $r$, etc... rien n'aboutit. A mon avis, je dois prendre le problème par le mauvais bout. En fait, ce qui bloque principalement, c'est que la dérivée de $F$ par rapport à $x$ ou $z$ de $F$ n'est jamais simple.

Comment s'y prend-on ? Sans cette indication, j'aurais écris $F(x,z) =$ la série puis dérivé par rapport à $z$ et identifié les coefficients ou quelque chose de ce genre.

Sinon, pour les polynômes d'Hermite, la série de Taylor donne le résultat, parce que dans la dérivée $n$-ième n'interviennent que des éléments indépendants de $n$. Quelle méthode utilise-t-on dans le cas des polynômes de Legendre, ou Laguerre par exemple, c'est à dire lorsque l'on a quelque chose du type $\frac{\mathrm d^n}{\mathrm dx^n} u_n(x)$ ?

Merci

Cordialement