inégalité
Bonjour,
Je réfléchis à cet exercice que je n'arrive vraiment pas à appréhender...
Prouver l'inégalité suivante et étudier les cas d'égalité.
$$\forall (a,b) \in \R_+^2, \; a^3 + b^3 + 2 \geq 2 ab + a +b.$$
J'ai essayé d'étudier le signe de la différence en fonction des valeurs prises par $a$ et $b$, j'ai essayé par encadrements successifs, sans succès.
On m'a conseillé de poser $s=a+b$ et $p=ab$. L'inégalité est alors équivalente à $s^3-3sp+2 \geq 2p+s$, mais cela ne m'avance pas beaucoup...
Merci de votre aide.
Je réfléchis à cet exercice que je n'arrive vraiment pas à appréhender...
Prouver l'inégalité suivante et étudier les cas d'égalité.
$$\forall (a,b) \in \R_+^2, \; a^3 + b^3 + 2 \geq 2 ab + a +b.$$
J'ai essayé d'étudier le signe de la différence en fonction des valeurs prises par $a$ et $b$, j'ai essayé par encadrements successifs, sans succès.
On m'a conseillé de poser $s=a+b$ et $p=ab$. L'inégalité est alors équivalente à $s^3-3sp+2 \geq 2p+s$, mais cela ne m'avance pas beaucoup...
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Réponses
De quelle fonction parles-tu ? Celle ci ? $f \, : \, \R_+^2 \rightarrow \R$ ; $(a,b) \mapsto a^3 + b^3 + 2 -2 ab - a - b$.
On a $a = m+h$ et $b = m-h$, donc $a^3 + b^3 + 2 -2 ab - a - b = 2m^3 - 2m^2 - 2m + 2 + 6h^2m + 2h^2 = 2(m+1)(m-1)^2 + 2h^2(3m+1)$.
C'est une somme de termes positifs, c'est nul si et seulement si $(m+1)(m-1)^2 = 0$ et $h^2(3m+1) = 0$, c'est-à-dire $m=1$ et $h=0$, soit $a=b=1$
$a^3+b^3\geq \frac{(a+b)^3}{4}$ et $\frac{(a+b)^2}{2}\geq 2ab$.
Il suffit donc de prouver que
$\frac{(a+b)^3}{4}+2\geq \frac{(a+b)^2}{2}+(a+b)$
ou encore
$\frac{x^3}{4}-\frac{x^2}{2}-x+2\geq 0$,
ce qui est immédiat.
@ gb : comment penses-tu à faire ce changement de variables ? Est-ce quelquechose de classique, ou bien tout simplement... le talent ?
Lorsque l'on a une expression symétrique en $a$ et $b$, il est courant d'utiliser la somme $s$ et le produit $p$, mais il est souvent tout aussi pratique de les représenter symétriquement par rapport à leur demi-somme $m$ sous la forme $m+h$ et $m-h$.