Courbes paramétriques et parité
Bonjour,
Dans mon cours sur les courbes paramétriques planes, on énonce la phrase suivante:
{\it Si $x$ et $y$ sont paires, on restreint l'étude à $\mathbb{R}_+$, et on a toute la courbe.}
Je ne comprends pas bien pourquoi. Cependant, avant que vous me le disiez, je sais quand même que lorsque qu'une fonction $x$ et paire, alors on a, $\forall t \in \mathbb{D}_x,\ x(t)=x(-t)$.
Pourriez-vous me l'expliquer svp ?
Merci d'avance.
Dans mon cours sur les courbes paramétriques planes, on énonce la phrase suivante:
{\it Si $x$ et $y$ sont paires, on restreint l'étude à $\mathbb{R}_+$, et on a toute la courbe.}
Je ne comprends pas bien pourquoi. Cependant, avant que vous me le disiez, je sais quand même que lorsque qu'une fonction $x$ et paire, alors on a, $\forall t \in \mathbb{D}_x,\ x(t)=x(-t)$.
Pourriez-vous me l'expliquer svp ?
Merci d'avance.
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Réponses
Que peux-tu dire des coordonnées des points $M(t)$ et $M(-t)$ ?
Comme je suis absent toute le fin de journée, ne t'attends pas à une réaction rapide de ma part.
Je ne sais pas trop quoi répondre à cette question...:S
De plus, le prof a dit que lorsque $x$ et $y$ sont paires, alors {\bf tous les points de la courbe sont {\it doubles}}. Je ne comprends pas ce qu'il entend par là..
x(-t)=x(t)
y(-t)=y(t)
Qu'en déduis tu sur les points M(t) et M(-t)
Dans une courbe paramétrée par t, le paramètre t n'apparaît nulle part sur le graphique : ni en abscisse, ni en ordonnée. On calcule à la fois l'abscisse x et l'ordonnée y en fonction de ce paramètre t.
Lorsque x et y sont 2 fonctions paires, le point M(t) de coordonnées (x(t),y(t)) est situé au même endroit que le point M(-t) qui a pour coordonnées (x(-t),y(-t))=(x(t),y(t)) puisque les fonctions x et y sont paires. Par conséquent tous les points de la courbe (sauf M(0)) sont atteints 2 fois (au moins) : en t et en -t.
Pour voir si tu as compris, essaie de conclure quelle symétrie présente la courbe paramétrée dans chacun des cas suivants :
1) x est paire et y impaire.
2) x est impaire et y paire.
3) x et y sont impaires.
4) Pour tout t réel, x(-t)=y(t).
En revanche, on ne dit pas dans ce cas-là qu'il y a symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
C'est lorsque l'on a une fonction y=f(x) avec f paire que l'on a cette symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
En fait, cette situation est un cas particulier de courbe paramétrée en posant x(t)=t et y(t)=f(t).
PS : J'ai donc répondu partiellement à une de mes propres questions.