Courbes paramétriques et parité
Bonjour,
Dans mon cours sur les courbes paramétriques planes, on énonce la phrase suivante:
{\it Si $x$ et $y$ sont paires, on restreint l'étude à $\mathbb{R}_+$, et on a toute la courbe.}
Je ne comprends pas bien pourquoi. Cependant, avant que vous me le disiez, je sais quand même que lorsque qu'une fonction $x$ et paire, alors on a, $\forall t \in \mathbb{D}_x,\ x(t)=x(-t)$.
Pourriez-vous me l'expliquer svp ?
Merci d'avance.
Dans mon cours sur les courbes paramétriques planes, on énonce la phrase suivante:
{\it Si $x$ et $y$ sont paires, on restreint l'étude à $\mathbb{R}_+$, et on a toute la courbe.}
Je ne comprends pas bien pourquoi. Cependant, avant que vous me le disiez, je sais quand même que lorsque qu'une fonction $x$ et paire, alors on a, $\forall t \in \mathbb{D}_x,\ x(t)=x(-t)$.
Pourriez-vous me l'expliquer svp ?
Merci d'avance.
Réponses
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Bonjour Track.
Que peux-tu dire des coordonnées des points $M(t)$ et $M(-t)$ ?
Comme je suis absent toute le fin de journée, ne t'attends pas à une réaction rapide de ma part. -
Bonsoir,
Je ne sais pas trop quoi répondre à cette question...:S -
$M(-t)$ est de coordonnées $(x(-t),y(-t))$, alors que $M(t)$ est de coordonnées $(x(t),y(t))$. Que se passe-t-il lorsque $x$ et $y$ sont paires ?
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A part dire que le graphe d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, je ne vois pas trop quoi dire de plus... Et de ce fait, pour faire le graphe entier, il faudrait donc faire le symétrique par rapport à $(Oy)$ de la partie tracée sur $\mathbb{R_+}$... non ?
De plus, le prof a dit que lorsque $x$ et $y$ sont paires, alors {\bf tous les points de la courbe sont {\it doubles}}. Je ne comprends pas ce qu'il entend par là.. -
Lis attentivement le dernier message de gb et rappelle toi que si x et y sont paires alors
x(-t)=x(t)
y(-t)=y(t)
Qu'en déduis tu sur les points M(t) et M(-t) -
Je pense que tu n'as pas bien compris ce qu'est une courbe paramétrée.
Dans une courbe paramétrée par t, le paramètre t n'apparaît nulle part sur le graphique : ni en abscisse, ni en ordonnée. On calcule à la fois l'abscisse x et l'ordonnée y en fonction de ce paramètre t.
Lorsque x et y sont 2 fonctions paires, le point M(t) de coordonnées (x(t),y(t)) est situé au même endroit que le point M(-t) qui a pour coordonnées (x(-t),y(-t))=(x(t),y(t)) puisque les fonctions x et y sont paires. Par conséquent tous les points de la courbe (sauf M(0)) sont atteints 2 fois (au moins) : en t et en -t.
Pour voir si tu as compris, essaie de conclure quelle symétrie présente la courbe paramétrée dans chacun des cas suivants :
1) x est paire et y impaire.
2) x est impaire et y paire.
3) x et y sont impaires.
4) Pour tout t réel, x(-t)=y(t). -
Je répondrais à Mac, $M(t)=M(-t)$ ... Mais à ce moment-là, si on ne trace la courbe que sur $\mathbb{R_+}$, pourquoi dit-on qu'il y a une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées? Je suis peut-être à côté, mais j'aimerais saisir... Merci à vous.
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On ne trace la courbe que pour t varaiant dans R+ parce que lorsque t varie dans R-, on retrace la même courbe comme on vient de le voir.
En revanche, on ne dit pas dans ce cas-là qu'il y a symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
C'est lorsque l'on a une fonction y=f(x) avec f paire que l'on a cette symétrie par rapport à l'axe des ordonnées.
En fait, cette situation est un cas particulier de courbe paramétrée en posant x(t)=t et y(t)=f(t).
PS : J'ai donc répondu partiellement à une de mes propres questions.
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Bonjour!
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