l^p réflexif

Intuitivement (en escamotant les difficultés), l'idée est la suivante : $(\ell^p)^*$, c'est $\ell^q$. De même, $(\ell^q)^*$, c'est $\ell^p$, donc $\big((\ell^p)^*\big)^*=(\ell^q)^*=\ell^p$, et dire qu'un espace est égal à son bidual, c'est exactement dire qu'il est réflexif.

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Plus rigoureusement on a une isométrie surjective $i_p$ de $\ell^p$ dans $(\ell^q)^*$ (je rajoute l'indice $p$ car je vais aussi considérer $i_q$ plus tard) qui est la réciproque de celle que tu cites, et qui est donnée par:
$$\forall f\in\ell^p,\quad i_p(f):g\in\ell^q\longmapsto \langle f,g\rangle_{p,q}:=\sum_i f_ig_i$$
Cette isométrie, donc continue, admet un adjoint $i_p^*:(\ell^q)^{**}\to(\ell^p)^*$ pour tout $p$, qui est aussi une isométrie surjective (à vérifier, mais c'est vrai). On obtient ainsi une isométrie surjective $(i_q^*)^{-1}\circ i_p$ de $\ell^p$ dans $(\ell^p)^{**}$ et il se trouve que cette isométrie surjective est justement l'injection canonique de $\ell^p$ dans son bidual (vérification à faire également).

Ante-Scriptum: j'ai modifié plusieurs choses importantes dans mon premier message (qui comportait plusieurs erreurs).

Montrer que $i_p$ est une isométrie découle de l'inégalité de Hölder et des cas d'égalité.

Montrer que $i_p$ est surjective découle du fait que l'espace de suites à support finis est dense dans $\ell^p$ d'une part, d'autre part que les suites dont les $n$ premiers éléments (au plus) sont non nuls forme un espace euclidien (avec le produit scalaire canonique), et que, $i_p$ restreint à cet espace s'y écrit comme un produit scalaire. C'est à détailler bien sûr, notamment l'identification de l'antécédent et le passage à la limite $n\to+\infty$...

Montrer que l'adjoint d'une isométrie surjective est également une isométrie surjective est un bon exercice, pas trop dur (à chercher avant de demander une solution toute faite).

Montrer que $(i_q^*)^{-1}\circ i_p=J_p$ (où $J_p$ désigne l'injection canonique de $\ell^p$ dans son bidual) revient à montrer que pour tout $f$ dans $\ell^p$ et $g$ dans $\ell^q$, on a $[i_p(f)](g)=\Big[i_q^*\big(J_p(f)\big)\Big](g)$. Je te laisse vérifier que chacun des deux membres est égal à $\langle f,g\rangle_{p,q}$ en revenant aux définitions de l'adjoint, de l'injection $J_p$, etc.

Salut,

1) Essaye de construire une application $S \, : \, F'' \to F$ telle que $J_F \circ S=Id_{F''}$, ce qui prouvera que $J_F$ est surjective (où $J_F$ est l'injection canonique de $F$ dans $F''$). Pour construire $S$ tu auras besoin de $J_E$, $T$ et le "biadjoint" $T^{**}$ de $T$ qui est une isométrie surjective de $E''$ dans $F''$.

2) Applique le 1) à $F,E,T^{-1}$ en lieu et place de $E,F,T$.

Ben c'est l'adjoint de l'adjoint, et du coup ça marche, il n'y a qu'à l'écrire (j'espère que je ne suis pas encore en train de raconter de la m...).

Pour compléter la réponse de jean, je te pose une question : comment comptais-tu montrer que $E'' \simeq F''$ ? (tu l'as écrit quelques posts plus haut).

L'idée est de "remonter" $T \, : \, E \to F$ sur les duaux, c'est-à-dire passer à l'adjoint, ce qui renverse le sens de la flèche : $T^* \, : \, F' \to E'$, et en réitérant l'opération on obtient $T^{**} \, : \, E'' \to F''$. Tu n'es pas obligé d'en passer par là si tu ne connais pas l'adjoint, mais il faut quand même que tu trouves un moyen d'écrire un isomorphisme entre $E''$ et $F''$, et pour ça tu t'aidera forcément de l'isomorphisme entre $E$ et $F$ dont tu disposes, à savoir $T$.

En gros, on est obligé d'utiliser l'adjoint. Il est évidemment possible de rédiger sans faire apparaître le mot adjoint - en l'introduisant sans le dire, si on ne sait pas ce que c'est - mais je pense qu'il n'y a "qu'une seule" démonstration.

Essaye de montrer à la main, sans rien connaître, que s'il existe une isométrie $i:E\to F$, alors tu peux construire une application (grâce à $i$) $j:E^*\to F^*$ à partir de $i$ (en gros, d'une seule manière possible). Cette application, c'est l'adjoint et, si $i$ est une isométrie surjective, c'est également une isométrie surjective. Mais il faut nécessairement mettre les mains dans le cambouis la première fois, et bien comprendre tout les objets qu'on introduit (le plus difficile est de bien comprendre si tout ce qu'on écrit a un sens).

Bon courage, mais le mieux, je pense, est qu'on ne t'en dise pas plus pour l'instant.

Justement, les $\simeq$ et les "$=$" (avec les guillemets) sont en fait que des applications naturelles ("canoniques") entre les espaces sont des isométries. Mais il faut s'embêter plusieurs fois avant de bien l'avoir compris.

Oui c'est une très bonne idée, mais pour voir pourquoi ça marche tu vas avoir besoin de comprendre ce qu'est $T^{**}$.