branches paraboliques

C'est par {\it définition\/} qu'une branche est dite parabolique lorsque $\lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}t$ est infinie.

Cette terminologie ne signifie pas que cette branche est à strictement parler une branche de parabole, mais indique simplement que son comportement est {\it qualitativement\/} le même que celui d'une parabole.

Reprenons les choses

Cas où : $f(t) = 3t + 2 + \dfrac{1}{t+1}$

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tu obtiens une asymptote oblique d'équation $y=3t+2$, non une branche parabolique

Cas où : $f(t) = 2t + \ln(t)$

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la courbereprésentative de f admet une branche parabolique, mais pas dans la direction l'axe $Ox$, dans la direction de la droite d'équation $y = 2t$, ce qui veut dire que la pente de la droite $OM(t)$ tend vers 2. Tu dis : {\it je l'ai vu sur un cours, mais encore une fois j'ai du mal à me l'imaginer}, peut-être n'as-tu pas assez tracé de courbes représentatives.

Cas où : $f(t) = 4t+3\cos(t)$

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$\frac{f(t)}{t}$ a pour limite 4 en l'infini, mais $f(t)-4t$ n'a pas de limite, tu peux simplement dire que la pente de la droite $OM(t)$ tend vers 4, sans pouvoir préciser le comportement. On dit, en langage mathématique, que le graphe présente une direction asymptotique d'équation $y = 4x$.
Ici le graphe est entièrement compris dans la bande $4t-3 \leq f(t) \leq 4t+3$.

En fait, lorsque l'on étudie une fonction, on est confronté à des cas où, soit $t$, soit $f(t)$, soit les deux, tendent vers l'infini. Pratiquement, cela veut dire que, lorsque tu fais un tracé sur une feuille de papier, quelle que soit l'échelle utilisée, le graphe sort de la feuille. Etudier les branches infinies, c'est décrire, comme l'on peut, ce qui se passe en dehors de la feuille de papier. Ce que l'on ne pourra pas représenter graphiquement, on a défini un vocabulaire pour en parler.

Un exemple que je donne souvent à mes élèves : $\ln(2.10^{20}) = \ln(10^{20}) + \ln 2$. Sur l'intervalle $[10^{20},2.10^{20}]$, le logarithme a augmenté de $\ln 2$, soit $0,7$ au centième prés, ce qui correspond à une pente de $7.10^{-21}$. Si l'on veut faire un tracé sur une feuille de papier ordinaire, il faudra prendre une unité minuscule, et l'accroissement du logarithme sera inférieur à l'épaisseur du trait représentant le graphe. On verra donc un segment horizontal. Pourtant la fonction logarithme est strictement croissante et tend vers l'infini : le tracé est trompeur. D'où l'importance à donner à l'étude précise des branches infinies.