suites imbriquées
Salut
j'ai deux suites An et Bn telles que:
Bn=sigma de 0 à n des k parmi n fois Ak
Il s'agit d'exprimer An en fonction de B1,B2,...,Bn
par observation des premiers termes de (An), il semblerait que la suite soit déterminée par:
An= sigma de 0 à n des k parmi n fois (-1)n-kBk
Comment le démontrer?
j'ai deux suites An et Bn telles que:
Bn=sigma de 0 à n des k parmi n fois Ak
Il s'agit d'exprimer An en fonction de B1,B2,...,Bn
par observation des premiers termes de (An), il semblerait que la suite soit déterminée par:
An= sigma de 0 à n des k parmi n fois (-1)n-kBk
Comment le démontrer?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Tu as $B_n = \sum\limits_{k=0}^n \binom{n}{k} A_k$
et tu poses $C_n = \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}B_k$.
Dans $C_n$, tu remplaces $B_k$ par son expression en fonction des $A_n$, tu intervertis les deux sommes, tu simplifies, et tu te retrouves avec $C_n = A_n$.
$$C_n= \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}B_k= \sum\limits_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k} \sum\limits_{i=0}^k \binom{k}{i}A_i = \sum\limits_{i=0}^n A_i\left(\sum\limits_{k=i}^n (-1)^{n-k}\binom{n}{k}\binom{k}{i}\right)$$ Or il faut savoir que $\binom{n}{k}\binom{k}{i}=\binom{n}{i}\binom{n-i}{k-i}$ donc $$C_n=\sum\limits_{i=0}^n A_i\binom{n}{i}\left(\sum\limits_{k=i}^n (-1)^{n-k}\binom{n-i}{k-i}\right)=\sum\limits_{i=0}^n A_i\binom{n}{i}\left(\sum\limits_{k=0}^{n-i} \binom{n-i}{k}1^k(-1)^{(n-i)-k}\right)=\sum\limits_{i=0}^n A_i\binom{n}{i} (1+(-1))^{n-i}=A_n$$ car $(1+(-1))^{n-i}=0$ lorsque $n\neq i$ et $(1+(-1))^{n-i}=1$ lorsque $n=i$.
> Pourquoi est-ce qu'on a le droit d'inverser les
> sigmas?
Ce sont des sommes finies donc la commutativité et la'associativité de l'addition dans R suffisent à justifier l'interversion des sommes... le problème se situe ensuite au niveau des indices qui doivent couvrir les mêmes plages dans un sens ou dans l'autre.
> Et pourquoi est-ce qu'on "déplace" uniquement Ai et pas i parmi k?
Comme son énoncé l'indique "i parmi k" dépend de k... donc on ne peut pas le 'sortir' de la somme portant sur l'indice k.
bonne soirée
$\left(\begin{array}{c} B_0 \\ B_1 \\ B_2 \\ B_3 \\ \vdots \\ \vdots \\ B_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccccccc} \binom{0}{0} & 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \binom{1}{0} & \binom{1}{1} & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \binom{2}{0} & \binom{2}{1} & \binom{2}{2} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \binom{3}{0} & \binom{3}{1} & \binom{3}{2} & \binom{3}{3} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ \binom{n}{0} & \binom{n}{1} & \binom{n}{2} & \binom{n}{3} & \cdots & \cdots & \binom{n}{n} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ \vdots \\ \vdots \\ A_n \end{array}\right)$
et
$\left(\begin{array}{c} A_0 \\ A_1 \\ A_2 \\ A_3 \\ \vdots \\ \vdots \\ A_n \end{array}\right) = \left(\begin{array}{ccccccc} \binom{0}{0} & 0 & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -\binom{1}{0} & \binom{1}{1} & 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ \binom{2}{0} & -\binom{2}{1} & \binom{2}{2} & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -\binom{3}{0} & \binom{3}{1} & -\binom{3}{2} & \binom{3}{3} & \cdots & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \ddots & \vdots \\ (-1)^n\binom{n}{0} & (-1)^{n-1}\binom{n}{1} & (-1)^{n-2}\binom{n}{2} & (-1)^{n-3}\binom{n}{3} & \cdots & \cdots & \binom{n}{n} \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} B_0 \\ B_1 \\ B_2 \\ B_3 \\ \vdots \\ \vdots \\ B_n \end{array}\right)$
et il suffit de montrer que le produit des deux matrices carrées est la matrice unité, ce qui est exactement le calcul de bisam, sans l'interversion des sommes, et sans les $A_k$.