Non Connexité par arcs

Bonjour Averse.

Soit $H$ un hyperplan de $\R^n$ ; il existe une forme linéaire $f \in (\R^n)^*$ dont $H$ est le noyau et $\R^n = f^{-1}(\R^*_+) \cup f^{-1}(\{0\}) \cup f^{-1}(\R^*_-)$et les deux demi-espaces sont évidemment convexes, donc connexes par arc (et même simplement connexes).

Soit $(a;a_1,...a_{n-2})$ un repère cartésien du sous-espace de dimension 2, tu le complètes en un repère $(a;a_1,...a_{n})$ de l'espace.
Si $x$ et $y$ sont deux points du complémentaires, tu écris $x-a = \sum\limits_{k=0}^n x_ka_k$ et $y-a = \sum\limits_{k=0}^n y_ka_k$ avec $x_{n-1}$, $x_n$, $y_{n-1}$, $y_n$ tous quatre non nuls.
tu définis $z(t) = a + \sum\limits_{k=0}^n z_k(t)a_k$ avec des $z_k$ continues tels que $z(0) = x_k$ et $z(1) = y_k$, ce qui définit un chemin continu de $x$ à $y$. Pour rester dans le complémentaire du sous-espace de codimension 2, il suffit que $z_{n-1}$ et $z_n$ ne s'annule pas simultanément, ce qui est toujours possible...

Le complémentaire d'un sous-espace affine de codimension 2 de $\R^n$ est homéomorphe à $(\R^2\setminus\{0\})\times\R^{n-2}$ .
Il est donc connexe par arcs puisque les 2 facteurs le sont.

Soit un hyperplan affine d'équation $\varphi(x)=0$. Alors son complémentaire n'est pas connexe par arcs sinon son image par $\varphi$ serait connexe par arcs. Or cette image est $\R^*$, contradiction [$\varphi:\R^n\longrightarrow\R$ est une forme affine non constante donc surjective].

A la fin de hyperplanferme.pdf on trouve :
... si on considère l’espace $E = {\cal C} ([0, 1], \R)$ et l’hyperplan $H = \{\,f \in E \mid f(0) = 0\,\}$, alors $E\setminus H $ est connexe par arcs dans $(E,||.||_1)$.

Il serait intéressant d'exhiber un chemin continu allant de la fonction constante $f=1$ à la fonction constante $f=-1$ !...

J'ai modifié mon exemple ci-dessus qui était initialement erroné (merci à Archimède pour son message privé).

De manière générale, lorsque l'on veut construire une application continue (sur un espace de fonctions) pour la norme $L^1$ qui ne le soit pas pour la norme uniforme, il faut penser aux translations: si $\tau_tf(x)=f(x+t)$, l'application $t\mapsto \tau_t$ est continue de $L^p$ dans lui-même pour tout $p<\infty$.