integrale impropre

alberto0
alberto0
dans Analyse
Bonjour,
Je cherche a montrer que l'intégrale $$\int_{1}^{+\infty} (ln(t))^b dt ,b<0 $$ est divergente.
J'ai essayé d'utiliser le théorème de comparaison par majoration avec la fonction e^(bt) mais $$\int_{1}^{+\infty} e^{b t}dt$$ converge.
Apparemment il n'y a pas d'équivalent qui me permettrait d'utiliser le th de comparaison par équivalence
merci de votre aide

Réponses

  • bs
    bs
    Bonjour ,
    règle de Riemann, en + infini:

    $\lim_{t \to +\infty }\,t^{1/2}.ln(t))^b = + \infty $ ===> divergence de l'intégrale car 1/2 < 1.

    C'est une intégrale de Bertrand.

    Maintenant, il faudrait voir aussi ce qui se passe au voisinage de 1 , pour être exhaustif.
  • Archimède
    Archimède
    Plus simplement (l'exposant $1/2$ est inutile) :

    La puissance l'emporte sur le logarithme donc $\displaystyle t\,(\ln t)^b \to +\infty$ quand $t\to +\infty$
    donc pour $t$ grand $t\,(\ln t)^b\geq 1$
    $\displaystyle(\ln t)^b\geq \frac{1}{t}$
    L'intégrale est donc divergente.

    Plus généralement, on traite au moyen du thm de comparaison les intégrales de Bertrand
    $\displaystyle \int_1^{\to +\infty}\frac{1}{t^{\alpha}\,(\ln t)^{\beta}}\,dt$
    lorsque $\alpha\not=1$. Si $\alpha=1$, alors il y a une primitive évidente.
    L'intégrale est
    convergente si $\alpha>1$ ou ($\alpha=1$, $\beta>1$)
    divergente si $\alpha<1$ ou ($\alpha=1$, $\beta\leq 1$)
  • alberto0
    alberto0
    Merci pour vos réponses, je n'y avais pas pensé.
  • alberto0
    alberto0
    Bonjour,
    J'ai une autre question sur une integrale impropre.
    Je veux montrer que $$\int_{1}^{+\infty} e^{\alpha t}(ln(t))^\beta dt$$ converge si $\alpha <0$
    En faisant le changement de variable $t=ln(u)$ je trouve $$\int_{1}^{+\infty} e^{\alpha t}(ln(t))^\beta dt=\int_{e}^{+\infty} u^{\alpha -1}(ln(ln(u)))^\beta du$$
    Si $\beta >0$ alors $ (ln(ln(u)))^\beta <(ln(u))^\beta$ et on peut comparer cette intégrale a une intégrale de bertrand convergente.
    Mais dans le cas ou $\beta <0)$ on a $(ln(ln(u)))^\beta >(ln(u))^\beta$ et on ne peut plus faire de comparaison avec integrale de bertrand.
    Que faire alors ?
    merci de votre aide
  • gilles benson
    gilles benson
    bonsoir, un truc classique consiste à écrire:

    $$e^{\alpha t}(ln(t))^\beta = e^{\alpha t/2} e^{\alpha t/2}(ln(t))^\beta$$

    or, on a en $+ \infty$:

    $$(ln(t))^\beta = o(e^{- \alpha t/2})$$

    donc, il existe $M > 0$, $0 \leq e^{\alpha t/2}(ln(t))^\beta \leq M$ si $t \geq A$

    on obtient:

    $$e^{\alpha t}(ln(t))^\beta =O(e^{- \alpha t/2})$$

    ce qui prouve la convergence.
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  • alberto0
    alberto0
    Désolé mais je ne comprend pas bien.
    Qu'entend tu par :

    or, on a en $+ \infty$:
    $$(ln(t))^\beta = o(e^{- \alpha t/2})$$

    Il n'y aurait pas un moyen en gardant la meme écriture ?
    merci
  • egoroff
    egoroff
    Pour $\beta > 0$ on utilise $\forall t \geq 1, \, \ln t \leq t$ donc $(\ln t)^{\beta} \leq t^{\beta}$ ; pour $\beta < 0$ on utilise $\forall t \geq e, \, \ln t \geq 1$ donc $(\ln t)^{\beta} \leq 1^{\beta}=1$.
  • gilles benson
    gilles benson
    bonsoir, plutôt que de rigidement chercher une echelle de comparaison qui n'existe pas toujours, il vaut mieux profiter des circonstances; ici (en plus) si $\beta < 0$, il n'y a vraiment pas de pb en l'infini car:

    $$ e^{\alpha t}(ln(t))^\beta \leq e^{\alpha t}$$

    une majoration amplement suffisante.

    C'est d'ailleurs ce que proposait Egoroff...
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  • Archimède
    Archimède
    On considère l'intégrale impropre $\displaystyle \int_{1}^{\to+\infty} e^{\alpha t}(ln(t))^\beta dt$
    et $\alpha<0$,
    Pourquoi se compliquer la vie ?
    Comme l'exponentielle l'emporte sur la puissance et le logarithme, on a donc pour $t$ suffisamment grand
    $\displaystyle e^{\alpha t}(ln(t))^\beta\leq\frac{1}{t^2}$
    d'où la convergence !

    [rectifié suivant l'indication de Alp, Date: lun 12 février 2007 10:20:17]
  • Alp
    Alp
    Euh la dernière majoration est vraie mais n'apporte rien non ? Peut-être mettre au carré plutôt ?
  • gilles benson
    gilles benson
    bonjour, même au carré, majorer par le terme général d'une intégrale généralisée divergente n'apporte aucune véritable information sur la convergence.

    Bon je reprends mon post antérieur:

    bonsoir, un truc classique consiste à écrire:

    $\displaystyle e^{\alpha t}(\ln(t))^\beta = e^{\alpha t/2} e^{\alpha t/2}(\ln(t))^\beta$



    or, on a en $ + \infty$:

    $\displaystyle (\ln(t))^\beta \text {est négligeable devant } e^{- \alpha t/2}$



    donc, il existe $ M > 0$ et $A> 0$ , $ 0 \leq e^{\alpha t/2}(\ln(t))^\beta \leq M$ si $ t \geq A$

    on obtient:

    $$ e^{\alpha t}(\ln(t))^\beta \leq \displaystyle Me^{ \alpha t/2} \text{ si }\displaystyle t \geq A$$

    On a donc majoré par une fonction positive d'intégrale généralisée convergente
    sur l'intervalle $[A; + \infty[$ (rappel: la convergence est un pb local en $ + \infty$).
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  • egoroff
    egoroff
    Bien d'accord avec toi gilles mais alberto semblait vouloir éviter les relations de comparaisons asymptotiques ; je persite à dire qu'on peut s'en sortir de manière élémentaire avec l'encadrement $1 \leq \ln t \leq t$ valable pour $t \geq e$, en utilisant l'un ou l'autre côté de l'encadrement selon le signe de $\beta$.
  • gilles benson
    gilles benson
    oui bien sur.
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