angle incommensurable avec pi ?
Bonjour,
Considèrant l'angle $x$ (ou plutôt sa mesure) donnée par:
$\cos (x) = \frac {\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{5}$
j'ai calculé les 400 premières décimales de $\frac{x}{\pi}$ et je n'ai pas vu de périodicité dans le début du développement décimal. Comment démontrer rigoureusement que $x$ et $\pi$ sont incommensurables ?
cordialement,
Considèrant l'angle $x$ (ou plutôt sa mesure) donnée par:
$\cos (x) = \frac {\sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}{5}$
j'ai calculé les 400 premières décimales de $\frac{x}{\pi}$ et je n'ai pas vu de périodicité dans le début du développement décimal. Comment démontrer rigoureusement que $x$ et $\pi$ sont incommensurables ?
cordialement,
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
quelqu'un a calculé ce cosinus, suite à une équation, et se demande combien vaut $x$ et en particulier si $x$ est une fraction de $\pi$.
$T_{n}(x)=cos(n \quad \arccos(x))$
ils vérifient une relation de récurrence:
$T_{n+2}=2X \quad T_{n+1} - T_{n}$
$T_{0}=1$
$T_{1}=X$
on suppose par l'absurde que
$x=\frac{p}{q}\pi$
et on regarde la valeur prise par le polynôme $T_{2q}$ au point $\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{5}$:
$T_{2q}(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{5})=cos( 2p \pi)=1$
par définition.
Par ailleur, ce terme $T_{2q}(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{5})$ est le (2q+1) ième terme d'une suite numérique définie par la relation de
récurrence des polynomes, évalués au point $x=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{5}$
En posant $u_{n}=T_{n}(\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{5})$, il faudrait montrer que cette suite, définie par une relation de récurrence linéaire, ne prend jamais la valeur 1 (ou, tout au moins, pas son terme d'indice 2q) .
la suite $(U_{n})$ vérifie:
$u_{n+2}=2 \alpha \quad u_{n+1} - u_{n}$
$u_{0}=1$
$u_{1}=\alpha$
où $\alpha=\frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{5}$
Peux t on montrer par récurrence que $u_{2n}$ ne prend pas la valeur 1, pour n > 0 ? ou par un raisonnement identique, que $u_{n}$ ne prend pas les valeurs 1 et -1 ?
cordialement,
c'est peut-être ( certainement ) faux ?
[ cos(x) algébrique sur Q] et [$ x= \frac{\pi}{n}$ ===> polygone régulier de n côtés constructible à la règle et au compas]
Merci de m' expliquer pourquoi c'est faux. [ ce n'est pas un défi !! ]
je me suis mal exprimé en écrivant que $x$ n'était pas une fraction de $\pi$.
je me pose la question :
est il possible que $x=\frac{p}{q} \pi$ avec p,q entiers ?
si $ n > 2$ et $(k,n)=1$, alors $2\cos (\frac{2k \pi}{n})$ est un entier algébrique de degré $ \frac{\phi (n)}{2}$ (merci bs...)
Référence: {\it Irrational numbers } par Ivan Niven (Carus Mathematical Monographs).
Merçi pour votre réponse. Est-ce que cette notation $\phi(\frac{n}{2})$ signifie que $\frac{n}{2}$ est entier ou bien que l'on considère la partie entière de $\frac{n}{2}$ ?
Et le degré de $\frac{2 \left( \sqrt{2}+2\sqrt{3} \right) }{5}$ est 4, c'est bien cela ?
En utilisant le thm de Lehmer, si $x=\frac{p}{q} \pi= \arccos \left( \frac{\sqrt{2}+2\sqrt{3}}{5} \right)$, on en déduit que $\phi(q)=4$
donc q=5,8,10 ou 12, ce qui donne un très petit nombre de cas à examiner.
cordialement,
Si n=5, k=1 , cas du pentagone, quid de $\phi(\frac{n}{2})$ ?
$\phi$ est l'indicateur d'Euler , ou le polynome cyclotomique ?
J'ignorais ce théorème de Lehmer.
Merci.
Pour bs, c'est un exercice sympa sur les nombres complexes que de calculer le cosinus de $\frac{2 \pi}{5}$ ce qui donne $\frac{1+\sqrt5}{4}$, ce qui permet la construction au compas du pentagone régulier mais je pense que tu le sais...
$ \phi$ est en effet l'indicateur d'Euler et je vois ce qui n'allait pas dans mon intervention::o désolé pour la faute de frappe.
Et bien que je n'ai pas regardé la preuve, cela a tout à voir avec les polynomes cyclotomiques de toute façon, redésolé pour la confusion induite.
comme 5 est congru à 1 modulo 4, $2\cos\frac{2 \pi}{5}$ est un entier algébrique dans $\Q[\sqrt5]$ donc de degré 2 car $\phi (5) = 4 $ (je compte sur mes doigts).
Au total, j'ai appris qu'il y avait au moins 3 Lehmer: D H, son père D N qui a construit d'invraisemblables tables de nombres premiers et sa femme (Russe née à Samarra (Kuibyshev...)
au passage, on peut consulter:
\lien{http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles.html}
Par ailleurs, tu m'as appris que:
ce théorème ( de Lehmer ) a été publié dans American Mathematical Monthly, 40 (1933) pages 165-166.
Si l'un(e) d'entre vous possède ce document, merci de me le faire parvenir.
Le Lehmer qui a associé son nom au test de primalité avec Lucas , lequel est-ce ?
Merci.
> Si l'un(e) d'entre vous possède ce document, merci
> de me le faire parvenir.
Moi aussi, je veux bien.
Cordialement,
Gilles: ni l'un ni l'autre: le père Noël est venu me déposer l'article en question dans ma boîte à lettres.
Merci beaucoup Aleg.
Grand merci Gilles.
Alors voilà la preuve : on les extensions de corps Q(u)/Q(x)/Q. Comme x = (u + 1/u)/2, on voit tout de suite de Q(u)/Q(x) est de degré inférieur ou égal à 2. Et comme Q(u) est différent de Q(x), le degré est 2. Ensuite, sachant que pour toutes extensions M/L/K, on a [M:K]=[M:L][L:K], c'est terminé