Bases hilbertiennes et théorème de Riesz

Reï · February 2007

Bonsoir,

Le théorème de Riesz affirme que la boule unité fermée d'un espace-vectoriel normé de dimension infinie n'est pas compacte.
Si on se place dans le cas particulier d'un espace de Hilbert séparable de dimension infinie, il me semble qu'on a une preuve très simple avec les bases hilbertiennes : en effet, soit $(e_{n})_{n}$ une base hilbertienne d'un tel espace. Alors, on a , pour $m,n$ entiers distincts, $||e_{n}-e_{m}||=\sqrt{2}$, et donc aucune suite extraite de $(e_{n})_{n}$ n'est de Cauchy, et donc ne converge.
On a donc trouvé une suite de $\overline{B}(0,1)$ qui ne possède aucune sous-suite convergente ; c'est donc que $\overline{B}(0,1)$ n'est pas compacte.
Comme je n'ai trouvé cette preuve nulle part, je me demande si elle est correcte.
Qu'en pensez-vous ?

Merci d'avance.
Amicalement.
Olivier.

egoroff · February 2007

Salut,

Pour moi ça roule, pas de problème. Seulement comme tu l'as dit ça ne marche que dans un espace de Hilbert séparable comme tu l'as dit, et puis ça demande quand même de montrer d'abord l'existence d'une base hilbertienne dans un tel espace...

Moi j'aime bien la preuve classique de "boule compacte $\Rightarrow$ dimension finie" avec recouvrements par des boules de plus en petites, on voit bien comment la compacité tient l'espace à l'étroit. Mais c'est vrai que c'est pas mal de donner dans des cas particuliers des exemples de telles suites, tu en as donné dans un Hilbert séparable, on peut en donner pour $L^p$, pour des espaces de type $C^k$.. (?)

Reï · February 2007

Merci pour ta réponse, Egoroff. Cette preuve est évidemment moins "puissante" que la preuve que tu mentionnes, puisque, comme tu le dis, elle ne fonctionne que dans un cas particulier et nécessite un résutat non trivial sur les espaces de Hilbert séparables (existence d'une base hilbertienne).

Amicalement.
Olivier.

egoroff · February 2007

Je t'en prie...

C'est marrant ça me fait penser à une question que je me suis posée récemment : je prends un réel $\alpha$, un e.v.n. $E$ dont la sphère unité est notée $S$, une famille $X=(x_i)_{i \in I}$ de points de $S$ telle que $||x_i-x_j|| \leq \alpha$, je suppose $X$ maximale, est-ce que je peux dire que $X$ engendre (linéairement) $E$ ? Je pense l'avoir montré pour $\alpha < 1$ mais sinon je ne sais pas, je pense que c'est vrai.

jean · February 2007

Egoroff, le lemme suivant est classique il me semble.

{\bf\em Lemme:} Soit $F$ un sous-espace non dense d'un Banach $E$. Fixons $\varepsilon>0$ (petit). Alors il existe $x\in E$ tel que $|x|_E=1$ et $d(x,F)\ge 1-\varepsilon$.

{\em Démonstration:} on se donne $\phi$ une forme linéaire continue de noyau contenant $\bar F$ (à construire avec Hahn-Banach, comme le prolongement d'une forme linéaire $\psi$ définie sur $\bar F\oplus {z}$, où $z\in E$ est donné hors de $\bar F$). On pose $F_1=\phi^{-1}(\alpha)$ où $\alpha$ est choisi de sorte que $d(F,F_1)=1$. Il existe alors deux éléments $y\in F$ et $y_1\in F_1$ tel que $|y-y_1|_E\ge 1-\varepsilon$. Le vecteur $x=\frac{y-y_1}{|y-y_1|}$ convient (avec un $\varepsilon$ un peu différent, mais arbitrairement petit aussi).

On devait en déduire, pour ton exemple, que $X$ engendre {\it topologiquement} $E$.... sous réserve d'avoir l'inégalité dans l'autre sens (oups, désolé, je suis parti dans une autre direction): $||x_i-x_j||\ge c>0$. Dans le sens indiqué, quelle est ta preuve pour $\alpha\le 1$ ?

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