limite problématique

alberto0 · February 2007

Bonjour,
Je cherche à calculer $$\lim_{t\rightarrow + \infty} e^{\alpha t} (\ln t)^\beta $$ avec $\alpha >0$ et $ t>1$. Quand $\beta \ge 0$ le résultat est trivial.
Mais avec $\beta <0$ ça se complique un peu. J'ai pensé à passer par :
\begin{center} $\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{e^{\apha t}}{( \alpha t)^{-\beta}} = +\infty $
\end{center}
puis comme $$ \frac{e^{\alpha t}}{ ( \alpha t)^{- \beta} } \ge \frac{e^{\alpha t}}{ (\ln t)^{- \beta} } $$
alors $$\lim_{t\rightarrow + \infty} e^{\alpha t} (\ln t)^\beta = + \infty $$ Malheureusement ça ne marche que si $\alpha >1$ (il me semble)
Comment faire si $ \alpha \in ]0,1]$ ?
Y a-t-il un moyen plus simple ?
Merci

[Corrigé selon tes dernières indications. AD]

GERARD · February 2007

Bonjour.

Ce que tu as fait me semble clair. Il n'y a pas besoin de $\alpha \geq 1$ car les $x^n$ sont tous négligeables devant les $e^{\alpha}$ pour $\alpha > 0$. Démonstration facile à partir de $ x^n = o(e^x) $.

Cordialement

alberto0 · February 2007

En fait ce que je voulais dire c'est que si $ \alpha >1$ alors $\alpha t > lnt$ donc $( \alpha t)^{-\beta} > (lnt)^{-\beta} $ puis $$ \frac{e^{\alpha t}}{ ( \alpha t)^{- \beta} } \le \frac{e^{\alpha t}}{ (\ln t)^{- \beta} } $$
comme $$ \lim_{t \to \infty} \frac{e^{\alpha t}}{( \alpha t)^{-\beta}} = +\infty $$
je peux conclure que $$ \lim_{t \to \infty} \frac{e^{\alpha t}}{(ln t)^{-\beta}} = +\infty $$
Mais si $ 0< \alpha <1$ il est possible que $\alpha t < lnt$ donc $( \alpha t)^{-\beta} < (lnt)^{-\beta} $ puis $$ \frac{e^{\alpha t}}{ ( \alpha t)^{- \beta} } \ge \frac{e^{\alpha t}}{ (\ln t)^{- \beta} } $$ et je ne peux plus conclure

Je ne vois pas ce que tu veux dire par :
Il n'y a pas besoin de $\alpha \geq 1$ car les $x^n$ sont tous négligeables devant les $e^{\alpha}$ pour $\alpha > 0$

limite problématique

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 20