Fonction polynomiale

personne !

On développe avec le binôme de Newton :
$$P_n(x) = \frac{1}{2i} ( \sum_{k=0}^{2n+1}C_{2n+1}^k i^k \sqrt{x}^{2n+1-k} - \sum_{k=0}^{2n+1} C_{2n+1}^k (-1)^k i^k \sqrt{x}^{2n+1-k} )$$

Les termes avec $k$ pair se simplifie. Il reste les termes en $k$ impair. On a alors $k=2p+1$ et $i^k - (-1)^k i^k = 2i (-1)^p$. Donc :

$$P_n(x) = \frac{1}{2i} \sum_{p=0}^n C_{2n+1}^{2p+1} 2i (-1)^p \sqrt{x}^{2n+1 - (2p+1)}$$

On simplifie :

$$P_n(x) = \sum_{p=0}^n C_{2n+1}^{2p+1} (-1)^p x^{n-p}$$

On fait le changement de variable $j=n-p$ :
$$P_n(x) = \sum_{j=0}^n C_{2n+1}^{2j} (-1)^{n-j} x^j$$
Et donc :

$$P_n(x) = (-1)^n \sum_{j=0}^n C_{2n+1}^{2j} (-x)^j$$

Et donc ça n'est aucune des deux formes que tu as données (mais c'est quand même plus proche de la première).