Développement limité

Bonjour,

J'ai un petit souci conernant l'expression d'odres de DL.
Je résume.

J'ai établi que $(1+x^2)f'(x)+xf(x)=1$ $\forall x \in \mathbb{R}$.
De plus, je sais que f est de la forme $f(x) = a_1 \, \time \, x+a_2\, \time \,x^3+a_3\, \time \,x^5+a_4\, \time \,x^7 +o(x^7)$, car elle ne possède que des termes impairs, et on veut obtenir son expression au degré $7$ au final.

A partir de là, je dérive $f$:

$f'(x)=a_1+3a_2x^2+5a_3x^4+7a_4x^6+o(x^6)$

Je remplace alors les deux expressions précédentes dans mon égalité de départ:

$(1+x^2)(a_1+3a_2x^2+5a_3x^4+7a_4x^6+o(x^6))+x(a_1 \, \time \, x+a_2\, \time \,x^3+a_3\, \time \,x^5+a_4\, \time \,x^7 +o(x^7)) = $
$\qquad \qquad = (a_1+3a_2x^2+5a_3x^4+7a_4x^6+a_1x^2+3a_2x^4+5a_3x^6+a_1x^2+a_2x^4+a_3x^6+o(x^7))=$
$\qquad \qquad =(a_1+(2a_1+3a_2)x^2+(4a_2+5a_3)x^4+(6a_3+7a_4)x^6+o(x^7))= $
$\qquad \qquad = 1$

Et à partir de là, je résous un système assez facile.
Ce que j'ai écrit ci-dessus vous paraît-il correct? Je ne parle pas au niveau des coefficients, mais plutôt au niveau des différents ordre, des $o(x^n)$.. Je le rappelle, mon but est d'obtenir un DL de $f$ à l'ordre $7$!

Merci d'avance.