Construction et propriétés de cosinus

Bucheur · February 2007

Bonjour, je viens réclamer votre aide.

Je pars du principe que je me suis donné cosinus comme étant la somme d'une série entière de rayon de convergence infini bien connue. Donc pas de démonstration géométrique demandée ici. Veuillez si possible citer les théorèmes utilisés.

Ma question est : comment montrer que la somme de la série notée cos prend toutes les valeurs dans [-1,1] que sa période est 2 Pi ? Toute la théorie sur les séries doit permettre de faire cela d'aprés wikipédia (c'est même facile, disent-ils ...). De toute façon cette série doit bien vérifier ces propriétés.

Ah oui j'oubliais, je pars du principe que Pi/2 est (l'unique ?) racine de cosinus dans [0,2] ca serait bien de montrer que cos(2)<0 pour appliquer le tvi si possible aussi.

Merci.

Bruno · February 2007

Bonjour Bucheur.

L'étude qui t'intéresse est faite en détail dans "Théorie élémentaires des fonctions analytiques d'une ou plusieurs variables complexes" de Cartan.

Aleg · February 2007

m'étonnerais que $\cos z=\sum_{n=0}^{+\infty }\,(-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}$ prenne toutes ses valeurs dans $[-1;1]$.

Je suppose donc que tu parlais d'une série entière de variable réelle ; à mon avis, il sera très dur de dérouler toute la théorie sans passer dans $\C$ et utiliser des séries entières à variable complexe (pour disposer de l'exponentielle complexe).
à part le Cartan, il y a aussi RDO volume 4 paragraphe 3.3.

Bucheur · February 2007

Oui il y a ambliguïté je parle de la série restreinte aux réels tout à fait.

Par contre, voudrais-tu m'expliquer ce qu'est : le RDO volume 4 paragraphe 3.3, Un livre ? Merci.

Bruno · February 2007

S'il s'agit de rester dans le cadre réel, tel Achille, je me retire sous ma tente !

Aleg · February 2007

et moi, tel Diogène, je rentre dans mon tonneau...

Bucheur · February 2007

Quelqu'un connait les initiales de RDO svp ? Je l'ignore, merci.

Aleg · February 2007

Bucheur,
RDO = Ramis-Deschamps-Odoux. cf <http://www.amazon.fr/Cours-mathématiques-Séries-équations-différentielles/dp/2100056239/sr=1-17/qid=1171118985/ref=sr_1_17/402-3263590-5654502?ie=UTF8&s=books>
se trouve dans toutes les bonnes bibliothèques.

gilles benson · February 2007

Bonjour bucheur :

Dérive ta série entière et appelle-la : $-\sin x $ puis prouve par dérivation que:
$f(x) = (\sin x)^2 + ( \cos x)^2$ est constante et vaut 1.

Ensuite un peu de variable complexe en vérifiant :
$$\cos x + i \sin x = e^{ix}$$
en supposant connu le DSE de l'exponentielle.
Sinon il faudra retrouver les formules de duplication à la main par les séries :
Produit de Cauchy et autre pour récupérer la périodicité...
Bon courage.

Bucheur · February 2007

Bonjour, j'ai pu (enfin je pense) avoir les réponses en trouvant par bonheur ce cours à l'adresse: http://www.u-bourgogne.fr/monge/2emecycle/m3ch5.pdf

Faut encore réfléchir par soi même ou avoir un cours en plus, car le morphisme n'est pas démontré (mais je connais la démo qui est déjà dans mon cours ^_^). Y'a aussi encore pas mal de truc qu'il faut piger par soi-même. Sinon pas besoin de dériver la fonction f définie précédemment par notre ami Gilles Benson y'a une petite subtilité à comprendre...

Bucheur ++

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