petite erreur dans un sujet

La dérivée de $U_n$ est $U_n '(x) = 2nx(x^2-1)^{n-1}$. Donc $(x^2-1)U_n '(x) = 2nx U_n(x)$, c'est-à-dire $(x^2-1)U_n '(x) - 2nx U_n(x)=0$, et ceci est déjà différent de ta deuxième ligne. Peut-être le problème est-il là ?

Bon, un peu de courage ! Lançons-nous dans les calculs :

On dérive $(n+1)$ fois $(x^2-1)U_n '(x)$ à l'aide de la formule de Leibniz :
$(x^2-1)U_n^{(n+2)}(x) + 2(n+1)x U_n^{(n+1)}(x) + n(n+1) U_n^{(n)}(x)$

On dérive maintenant $(n+1)$ fois $2nxU_n(x)$ :
$2nx U_n^{(n+1)}(x) + 2n(n+1)U_n^{(n)}(x)$

Donc finalement, si on dérive $(n+1)$ fois $(x^2-1)U_n '(x) - 2nx U_n(x)=0$, on obtient :
$$(x^2-1)U_n^{(n+2)}(x) + 2(n+1)x U_n^{(n+1)}(x) + n(n+1) U_n^{(n)}(x) - 2nx U_n^{(n+1)}(x) - 2n(n+1)U_n^{(n)}(x)=0$$


En regroupant les termes, on a alors :
$$(x^2-1)U_n^{(n+2)}(x) - 2x U_n^{(n+1)}(x) -n(n+1) U_n^{(n)}(x) = 0$$

Et donc l'auteur a bel et bien raison.