Intégrale double

Quelques détails pour le début : le changement de variable puis le découpage du domaine donnent
$$I=\int \!\!\! \int _{[0,1]^2}\frac{1}{1-xy} dxdy=4\int_0^{1/2}\left ( \int_0^u\,\frac{dv}{1-u^2+v^2} \right ) du +4\int_{1/2}^1\left ( \int_0^{1-u}\,\frac{dv}{1-u^2+v^2} \right ) du $$

puis
$$I=4\int_0^{1/2}\,\frac{1}{\sqrt {1-u^2}}\,\arctan \left ( \frac{u}{\sqrt {1-u^2}} \right ) du + 4\int_{1/2}^1\,\frac{1}{\sqrt {1-u^2}}\,\arctan \left ( \frac{1-u}{\sqrt {1-u^2}} \right ) du$$

et après ça roule... car chacun des deux intégrandes est du type $f(x)f'(x)$ qui s'intègre en $\frac{1}{2}(f(x))^2$.

on peut s'en apercevoir en esquissant une ipp (qui nous oblige à dériver l'arctangente)
Mais, si on passe à côté, on peut toujours s'en sortir avec $u=\sin \theta $.

Bonjour Aleg..
Une petite question qui me vient:
Comment avez-vous fait pour trouver le changement de variable?
Est-ce un changement de variable classique?
Je l'ai déjà vu dans un exercice traitant des EDP, mais il était donné en indications.
Je pense que vous voulez peut-être éviter le point de coordonnées (1,1) du domaine de départ et vous essayez de trouver un domaine qui l'évite.
Merci d'avance pour votre réponse.

BS voici une autre méthode, puisque $$ \frac{1}{1-xy}=\sum_{k=0}^{\infty}(xy)^k$$ pour $(x,y) \in \,]0,1[\,\times\,]0,1[$ et puisque le deuxième membre de l'égalité ci-dessus est une série à termes positives, le th de la cv monotone s'applique et donc par intégration terme à terme de la série tu trouveras la valeur $\dfrac{\pi^2}{6}$ de ton intégrale

Cette intégrale a été utilisée par Beukers pour donner une preuve de l'irrationalité de (Somme 1/n²).