Inégalité accroissements finis cas général

Bonjour à tous

En trippant sur un sujet d'agreg, j'en suis venu à généraliser (je crois qu'il y a un théorème précis là dessus, mais je ne me rappelle plus de l'énoncé exact) le théorème des accroissements finis pour une fonction $f$ continue sur $C$ et dérivable sur $C'$ (l'intérieur de $C$ ) où $C$ est un convexe compact de $\R^n$, et $f$ est à valeurs dans $\R^n$.

On peut alors énoncer le théorème suivant : Il existe un réél $K_C$ tel que pour tout couple $(x,y) \in C'^2,\ ||f(x)-f(y)|| \leq K_C.||x-y||$

Pour cela je dis simplement qu'étant donné $x, y$ 2 éléments de $C'$, la restriction de $f$ au segment $[x,y]\ (=\{x+a.(y-x) \mid a \in [0,1]\} )$ induit une application $g : [0,1] \rightarrow \R^n$, continue sur $[0,1]$, dérivable sur $]0,1[$ (il suffit de définir : $g(a) =f(x+a(y-x)))$. On note : $x_a=x+a(y-x)\ ;\ x_b=x+b(y-x)$

On considère alors les $n$ fonctions $g_i : [0,1] \rightarrow \R$, composantes de $g$. Ces $n$ fonctions vérifient les conditions du théorème des accroissement finis dans $\R$ et donc :
Pour tout couple $a,b \in ]0,1[$ on a : $|g_i(a)-g_i(b)| \leq K_i.|a-b|$. Posant $K = \max K_i$, on obtient $||g(a)-g(b)|| \leq K.\sqrt{n}.|a-b|$.
Or $||x_a-x_b||=||x-y||.|a-b|$ (il suffit de faire un dessin pour s'en convaincre). D'autre part on a $||g(a)-g(b)||=||f(x_a)-f(x_b)||$

On pose alors $K_C=K.\sqrt{n}.M$ où $M =\sup\limits_{x,y\in C} ||x-y|| $. Comme $C$ est compact, $M$ éxiste.

On obtient finalement qu'étant donnés 2 points $x', y' \in C'$ (qui est ouvert par définition), ces 2 points se situent sur un segment $]x,y[$ avec $x, y \in C'$. Le raisonnement précédent nous assure alors que $||f(x')-f(y')|| \leq K_C.||x'-y'||$ et la constante $K_C$ étant bien indépendante des points choisis.

Voilà je ne sais pas trop ce que vous en pensez. C'est tout chaud donc il y a sans doute pas mal d'imprécisions.

t-mouss