Limite

Jake
Jake
dans Analyse
Bonjour,

Je bloque un peu pour déterminer la limite suivante :
$$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{e^{ax}+e^{bx}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$$
J'ai tout d'abord voulu utiliser la relation $a^x=e^{x\ln(a)}$, mais je ne trouve rien de particulier... Si possible, il faudrait que j'utilise des DL pour faciliter la résolution.
Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci.

Réponses

  • bisam
    bisam
    Comme on te l'a dit : fais un DL !
    Commence par développer les exponentielles...

    Au fait, es-tu sûr de l'énoncé ? Ne serait-ce pas plutôt $$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$$
  • Longjing
    Longjing
    Bonjour,

    L'idée d'écrire l'expression comme $$\exp\left(\frac{1}{x}\ln\left(\frac{e^{ax}+e^{bx}}{2}\right)\right)$$
    est une bonne chose.

    Reste à plonger les mains dans les calculs pour un DL à l'ordre suffisant, qui se fait plutôt bien.

    Je trouve $\exp\left(\frac{a+b}{2}\right)$
  • Jake
    Jake
    Bonsoir bisam,

    Je confirme bien mon énoncé! ;)

    Cela donne donc:

    $(\frac{e^{ax}+e^{bx}}{2})\frac{1}{x}=e^{\frac{1}{x} \, ln(\frac{e^{ax}+e^{bx}}{2})}$

    Si je développe les exponentielles, j'ai:

    $e^{ax}= 1+ ax + \frac{a^2}{2}x^2 + o(x^2)$, et de même pour $e^{bx}$, mais cela ne m'apporte pas grand chose...si?
  • Yop0
    Yop0
    Un peu de persevérance... Il faut parfois plus d'une ligne de calculs...

    Ah la la, ces jeunes ! ;-)
  • Jake
    Jake
    Mais comment parvient-on à "enrayer" le $\frac{1}{x}$?

    P.S: pourquoi le gras n'est pas pris en compte dans mon message précédent? J'ai bien mis les balises pourtant...
  • Longjing
    Longjing
    Un DL du $\ln$ n'est-il pas $\ln(1+x)=x-...$ ? ; et le $\frac{1}{x}$ s'enraye alors d'une rayure et sans raillerie.
  • bisam
    bisam
    Le Latex et les balises phpbb ne sont pas compatibles. Il faut utiliser l'un ou l'autre.
    Sinon, pour ta question, il se trouve que le 1/x va sauter avec le ln(1+u) car u est un O(x)... en espérant être suffisamment clair sans trop en dire.
  • gilles benson
    gilles benson
    bonsoir, on peut écrire:

    $$\frac{e^u+e^v}{2}= e^{\frac{u+v}{2}} \cosh(\frac{u-v}{2})$$

    ensuite:

    $$\cosh(u) = 1 + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$$

    et la forme connue $\displaystyle \lim_{u \rightarrow 0}{(1 + Ku^2)}^{\frac{1}{u}}=1$
    donne le résultat (mais avec deux heures de retard...)
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Yop0
    Yop0
    Ca parait quand même un poil plus tordu comme ça...
  • gilles benson
    gilles benson
    bonsoir, écrire:

    $$ \frac{e^u+e^v}{2}= e^{\frac{u+v}{2}} \cosh(\frac{u-v}{2})$$

    me paraît une idée tout à fait valable; évidemment, j' aurais pû continuer en écrivant:


    $${(1 + Ku^2 + o(u^2))}^{\frac{1}{u}} = \exp(\frac{\ln(1 + Ku^2 + o(u^2))}{u})$$

    $$= \exp(Ku + o(u)) = 1 + o(u)$$

    ce qui est peut-être moins cryptique.
    bon courage.
    A demon  wind propelled me east of the sun
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