Limite
Bonjour,
Je bloque un peu pour déterminer la limite suivante :
$$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{e^{ax}+e^{bx}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$$
J'ai tout d'abord voulu utiliser la relation $a^x=e^{x\ln(a)}$, mais je ne trouve rien de particulier... Si possible, il faudrait que j'utilise des DL pour faciliter la résolution.
Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci.
Je bloque un peu pour déterminer la limite suivante :
$$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{e^{ax}+e^{bx}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$$
J'ai tout d'abord voulu utiliser la relation $a^x=e^{x\ln(a)}$, mais je ne trouve rien de particulier... Si possible, il faudrait que j'utilise des DL pour faciliter la résolution.
Pouvez-vous m'aider svp ?
Merci.
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Réponses
Commence par développer les exponentielles...
Au fait, es-tu sûr de l'énoncé ? Ne serait-ce pas plutôt $$\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{a^{x}+b^{x}}{2}\right)^{\frac{1}{x}}$$
L'idée d'écrire l'expression comme $$\exp\left(\frac{1}{x}\ln\left(\frac{e^{ax}+e^{bx}}{2}\right)\right)$$
est une bonne chose.
Reste à plonger les mains dans les calculs pour un DL à l'ordre suffisant, qui se fait plutôt bien.
Je trouve $\exp\left(\frac{a+b}{2}\right)$
Je confirme bien mon énoncé!
Cela donne donc:
$(\frac{e^{ax}+e^{bx}}{2})\frac{1}{x}=e^{\frac{1}{x} \, ln(\frac{e^{ax}+e^{bx}}{2})}$
Si je développe les exponentielles, j'ai:
$e^{ax}= 1+ ax + \frac{a^2}{2}x^2 + o(x^2)$, et de même pour $e^{bx}$, mais cela ne m'apporte pas grand chose...si?
Ah la la, ces jeunes ! ;-)
P.S: pourquoi le gras n'est pas pris en compte dans mon message précédent? J'ai bien mis les balises pourtant...
Sinon, pour ta question, il se trouve que le 1/x va sauter avec le ln(1+u) car u est un O(x)... en espérant être suffisamment clair sans trop en dire.
$$\frac{e^u+e^v}{2}= e^{\frac{u+v}{2}} \cosh(\frac{u-v}{2})$$
ensuite:
$$\cosh(u) = 1 + \frac{u^2}{2} + o(u^2)$$
et la forme connue $\displaystyle \lim_{u \rightarrow 0}{(1 + Ku^2)}^{\frac{1}{u}}=1$
donne le résultat (mais avec deux heures de retard...)
$$ \frac{e^u+e^v}{2}= e^{\frac{u+v}{2}} \cosh(\frac{u-v}{2})$$
me paraît une idée tout à fait valable; évidemment, j' aurais pû continuer en écrivant:
$${(1 + Ku^2 + o(u^2))}^{\frac{1}{u}} = \exp(\frac{\ln(1 + Ku^2 + o(u^2))}{u})$$
$$= \exp(Ku + o(u)) = 1 + o(u)$$
ce qui est peut-être moins cryptique.
bon courage.