Théorème des Nombres Premiers ou D'autres théorèmes
Bonjour
Je voudrais savoir si Borde ou quelques spécialistes des nombres premiers et de l'arithmétique peuvent me passer des documents sur ça, par exemple différentes démonstrations simplifiées de TNP ou d'autres démonstrations sur d'autres résultats , et surtout TNP avec des prolongements asymptotiques
Ou vous pouvez me donner d'autres documents sur l'arithmétique sur d'autres résultats avec démonstrations
Merci pour vos documents,merci encore
c'était pour mon TIPE, je pense que je peux essayer de rédémontrer un ou plusieurs théorèmes sur les nombres premiers en utilisant l'analyse :-)
Je voudrais savoir si Borde ou quelques spécialistes des nombres premiers et de l'arithmétique peuvent me passer des documents sur ça, par exemple différentes démonstrations simplifiées de TNP ou d'autres démonstrations sur d'autres résultats , et surtout TNP avec des prolongements asymptotiques
Ou vous pouvez me donner d'autres documents sur l'arithmétique sur d'autres résultats avec démonstrations
Merci pour vos documents,merci encore
c'était pour mon TIPE, je pense que je peux essayer de rédémontrer un ou plusieurs théorèmes sur les nombres premiers en utilisant l'analyse :-)
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Réponses
J'ai tapé une preuve analytique du TNP sur ce forum il y a quelques temps, moyennant un certain nombre de lemmes. Une recherche te donnera ta réponse.
Si tu as d'autres questions, n'hésite pas.
Borde.
Le fil suivant sur le forum indique bien ce qui peut se passer concernant l'ordre de grandeur de $ \displaystyle \frac{n}{\varphi(n)}$:
\lien{http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,344133,page=1}
En français sur le sujet, il doit y avoir le "que-sais-je" sur les nombres premiers,
un bouquin de Mendès-France chez Hermann qui date d'une trentaine d'années...et
peut-être le livre de Borde qui a dû faire en sorte de rester à un niveau élémentaire (c'est-à-dire sans variables complexes, ce qui ne veut pas dire sans séries à termes complexes...ou autres).
Dans Valiron, il y a la preuve du Théorème des nombres premiers mais avec la machinerie complexe; dans le livre de Descombes, il est prouvé via le théorème d'Ikehara si je ne m'abuse.
Sinon un théorème genre le théorème taubérien de Hardy et Littlewood prouvé par la méthode de Karamata peut se faire de façon longue mais sans variable complexe et mène à des estimations asymptotiques intéressantes.
$$\prod_{p\leq x} {(1-\frac{1}{p})}^{-1} \sim e^{\gamma}\ln x$$
avec $\gamma$ constante d'Euler...
Sinon, en partant de $c_0 = 2 \sqrt{\frac{{\pi}^2}{6}}$, on a:
$$\log(p(n)) \sim c_0 \sqrt n$$
avec $p(n)$ le nombre de partitions de $n$
Ce résultat est une simplification par des méthodes élémentaires du théorème de Rademacher:
$$ p(n) =
\frac{1}{\pi \sqrt2}\sum_{k=1}^{\infty}A_k(n) \sqrt k \frac{d}{dn} \left(\frac{\sinh(\frac{\pi}{k} \sqrt {\frac{2}{3}(n - \frac{1}{24})})}{\sqrt {n - \frac{1}{24}}}\right)$$
La preuve "combinatoire" du TNP, établie indépendamment par Erdös et Selerg, est au moins aussi compliquée que la preuve analytique d'Hadamard et de La Vallée Poussin (car, sinon, les gens l'auraient trouvée avant...). Elle a été revisitée par Daboussi en 1984 (et d'autres auteurs depuis), mais c'est un monument de mathématiques très difficile.
Au niveau CPGE, je préconiserais ce que j'ai fait dans mon livre : {\bf les inégalités de Tchebichef}, ce qui est déjà un grand pas en avant vers la raréfaction des nombres premiers, et donnant le bon ordre de grandeur de $\pi(x)$ (voir mon bouquin théorème 3.48). Un peu moins technique est l'utilisation du principe d'inclusion-exclusion qui amène une borne : $$\pi(x) \ll \frac {x}}{\ln \ln x},$$ certes moins bonne que Tchebichef, mais qui annonce la raréfaction des nombres premiers (voir mon livre page 76).
A Yalcin de choisir !
Borde.
voir le fichier joint.
Si tu cherches plus dur tu peux aussi essayer le théorème d'universalité de Voronin (et Karatsuba), mais pour un TIPE c'est un peu du masochisme... Il utilise le TNP mais ca n'est pas le point central du théorème,
Les principaux éléments sont plutôt l'équation fonctionnelle approchée et le théorème de Pecherskii (généralisation du théorème de Riemann sur
les séries conditionnellement convergentes pour les séries à valeur dans un Banach).
Tape Jorn Steuding dans google, il a une preuve rédigée de façon plus lisible que la preuve d'origine de Voronin.
a+
Eric
L'objectif d'un TIPE n'est pas nécessairement d'être très ambitieux ou d'un niveau très élevé. Exposer à l'oral d'un concours en TIPE une preuve d'un tel théorème suppose que le (pauvre) programme d'arithmétique de sup et spé est parfaitement maitrisé, et ne pas savoir répondre lors de l'entretien avec le jury à une question d'arithmétique élémentaire après avoir exposé une telle démonstration aurait un effet des plus catastrophiques. D'autant plus que reproduire une preuve d'un théorème n'est pas forcément une preuve d'initiative personnelle, sauf si la preuve est de vous bien sûr!
Ayant l'habitude d'encadrer des TIPE, mon conseil serait plutôt: méfiance. Vous devriez bien lire le texte officiel concernant les TIPE (demandez-le à votre prof de maths), on attend essentiellement une démarche personnelle.
Borde.
A noter quand même que toutes ces preuves nous éloignent de l'arithmétique...Il en existe d'autres, plus arithmétiques, si l'on se contente seulement d'une forme faible du TNP ($\pi(x) \sim x/ \ln x$), dont une qui consiste d'abord à se ramener à montrer que $M(x) = o(x)$ (où $M(x) = \sum_{n \leqslant x} \mu(n)$ est la fonction de Mertens), puis à estimer la somme mollifiée $F(x) = \sum_{n \leqslant x} \mu(n) (\ln n)^k \ln (x/n)$ (avec $k \geqslant 1$ entier) via la série de Dirichlet de la fonction $(-1)^k (1 / \zeta(s))^{(k)}$. Ce calcul est assez pénible, mais, une fois effectué, la fin de la démonstration n'est que routine.
Je ne la conseillerais cependant pas au niveau CPGE. Mais, pour en savoir plus, consulter le live d'Iwaniec et Kowalski, {\it Analytic Number Theory}, AMS (2004), pages 40-42.
Borde.