Convolution et limite

grandwazoo · February 2007

Bonjour à tous,

un petit problème d'analyse... J'ai une fonction $u$ continue et bornée sur $\R^n$ telle que, pour toute $f\in L^1$, on a :
$$\int f(y)u(x-y)\,dy=f\ast u(x)\longrightarrow 0$$
lorsque $|x|\rightarrow +\infty$.
Mon problème est de prouver que $u(x)\rightarrow 0$ si $|x|\rightarrow +\infty$.

J'ai prouvé ce résultat dans le cas particulier où $u$ est en plus uniformément continue, mais le cas général m'échappe et je ne sais même pas si c'est vrai... une fonction du genre $sin(x^2)$ pourrait bien être un contre-exemple mais je ne trouve pas de $f$ convenable.

Merci

Olivier.

Yop0 · February 2007

Ca a plutôt l'air faux. Prend pour $u$ une fonction du style somme de "chapeaux de largeur $1/n$, de hauteur $1$ et centrés en $n$". Pour montrer que ton hypothèse est vérifiée, tu peux noter qu'il suffit de le faire pour des fonctions $f$ continues à support compact (par exemple).

toutoune · February 2007

tu as trouvé une solution finalement ?

jean · February 2007

Bonsoir grandwazoo,

Pour confirmer ce que dis Yop de manière non constructive, mais en connaissant les trois résultats suivants d'analyse :
a) - la convolution $L^1*L^\infty$ est à valeurs dans les fonctions uniformément continue.
b) - la convolution $L^1*L^1$ est à valeurs dans $L^1$
c) - toute fonction $L^1(\R)$ et uniformément continue tend vers $0$ en $\pm\infty$.

Ainsi, si $u$ est dans $L^1\cap L^\infty$, $u*f$ tend vers $0$. Et il existe bien des fonctions $L^1$ et $L^\infty$ qui ne tendent pas vers $0$ (je prendrais des chapeaux de largeur $1/n^2$ ou $2^{-n}$, mais à part ça, l'exemple de Yop fournit un tel exemple de $u$).

grandwazoo · February 2007

Merci beaucoup de vous être intéressés à mon problème ! Je n'ai pas pu accéder à internet ces derniers jours, d'où mon silence.
Ma fonction u n'étant pas n'importe quoi (c'est une solution d'une EDP), j'ai pu prouver par régularité elliptique qu'elle était en fait uniformément continue, auquel cas le résultat que je voulais prouver est vrai. Ca évite ces problèmes de pentes de plus en plus grandes.

jean · February 2007

De quelle EDP s'agit-il (je parie qu'il y a un moyen plus rapide de montrer la convergence vers 0) ?

grandwazoo · February 2007

$u$ est au départ une solution $L^{\infty}$ de
$$-\Delta u+V(x)u=0$$
où $V$ est continue, bornée, telle que
$$\{V(\cdot+\xi),\xi\in\R^n\}$$
est relativement compact dans $L^1_{loc}$ et que toutes les fonctions limites de ces translatés sont $>h>0$.

Je ne pars pas avec une hypothèse du type $u\in W^{1,p}$, qui me simplifierait la vie pour prouver la convergence vers 0.

jean · February 2007

Ok. J'aurais mieux fait de me taire...

grandwazoo · February 2007

Il n'y a pas de mal, Jean... Normalement, le résultat que je cherche à prouver est assez nouveau, et devrait faire partie de mon premier article. Ca dit que toute solution bornée de mon équation du dessus avec les hypothèses sur V tend exponentiellement vite vers 0. Il y a des applications intéressantes.

Ce qui est assez étrange, c'est qu'on n'a au départ aucune information sur le comportement à l'infini de u (qui n'est dans aucun espace de Sobolev), la clé étant l'hypothèse de positivité sur les points d'accumulation de V à l'infini.

Convolution et limite

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 23