convexité

jjric · February 2007

Bonjour

J'aurais une question à propos de la convexité. Peut-on étudier la convexité d'une fonction $u \geq 0$ en étudiant celle de $\ln(u)$ ? Et si oui, y a-t-il une propriété qui permet, connaissant par exemple la convexité de $\ln(u)$, de déduire celle de $u$ ?

Merci

skyrmion · February 2007

Bonjour,

(Cette fois je réfléchis avant de parler et d'écrire... sic!).

Si tu arrives à montrer que $ln(u)$ est convexe, on dit alors que $u$ est logarithmiquement convexe. Et le théorème de Montel dit que $u$ est logarithmiquement convexe si et seuleument si $e^{ax} u$ est convexe pour tout réel $a$.

Donc la réponse à la question est oui.

sk

PS : Ca s'écrit comment logarithment??? (Merci Aleg)

Aleg · February 2007

ça s'écrit : logarithmiquement...

skyrmion · February 2007

Je savais qu'il m'en manquait un morceau.....

jjric · February 2007

Un grand merci!

A bientôt

Incognito0 · February 2007

Bonsoir,

Sans aller chercher de théorème de je ne sais qui, il y a une propriété toute bête: si f est convexe, si g est convexe croissante sur R, alors $g\circ f$ est convexe. Et comme l'exponentielle est convexe croissante sur R, le résultat en découle.

jjric · February 2007

merci!!!

jjric · February 2007

Juste une question
Si $f$ est concave et $g$ est convexe alors $g\circ f$ es concave ?

Incognito0 · February 2007

Si f est concave alors pour t entre 0 et 1:

$$f(tx+(1-t)y) \geq tf(x)+(1-t)f(y)$$

ensuite pour pouvoir conclure quelque chose dans le cas général, il suffit que:

g soit croissante et concave, auquel cas $g\circ f$ est concave

ou bien

g soit décroissante et convexe, auquel cas $g\circ f$ est convexe.

Remarque: si $\ln(u)$ est convave alors $\ln(\frac1u)$ est convexe et donc $\frac1u$ est convexe.

gilles benson · February 2007

bonsoir, Montel n'était pas n'importe qui.:S

Incognito0 · February 2007

Mais je n'ai pas dit n'importe qui!!! J'ai dit: "je ne sais qui".

convexité

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 6