EDP non linéaire

Bonjour,

Si on cherche des solutions $f$ de classe $C^1$ telles que, on notant $t$ la deuxième variable au lieu de $y$ (car on va reconnaître un type d'équation dépendant du temps $t$), l'équation s'écrit sous la forme:
$$\frac{\partial f}{\partial t}+\cot(f)\frac{\partial f}{\partial x}=0$$

Il s'agit d'une équation (ou loi) de conservation en dimension 1, de type équation de Burgers. Pour des références sur le sujet, on peut consulter les livres suivants (parmi d'autres choses):
- {\it Numerical Approximation of hyperbolic Systems of Conservation Laws} de E. Godlewki et P.-A. Raviart. Applied Mathematical Sciences {\bf 118}, Springer, 1996. Voir particulièrement la section 2.1 de l'introduction, page 12.
- {\it Lectures on Nonlinear Hyperbolic Diffrential Equations} de L. Hörmander, Mathématiques et Application {\bf 26}, Springer, 1997. Voir le chapitre II.
- {\it Systèmes de Loi de Conservation} Volume 1 de D. Serre. Editions Diderot, 1996. Voir le chapitre II.

Je détaille dans l'exemple ci-dessus le principe (appelé {\it méthode des caractéristiques}). Cela donne une résolution de l'équation, mais seulement sous forme implicite.

On suppose qu'une solution $f$ de l'équation existe, et on commence par se donner la solution $x(t)$ de l'équation différentielle ordinaire
$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\cot\Big(f\big(x(t),t\big)\Big)$$
vérifiant $x(0)=0$

Si $x(t)$ est solution de l'équation, on vérifie par un calcul de dérivées que la fonction $t\mapsto f\big(x(t),t\big)$ est constante (sa dérivée est nulle). D'après l'équation différentielle ordinaire elle-même, il en découle que $x(t)$ est une fonction affine (car $\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$ est constante):
$$x(t)=x_0+t\cot\Big(f(x_0,0)\Big)$$
[PS: ce sont ces droites qui sont appelées {\it caractéristiques} de l'équations, qui donnent le nom à la méthode de résolution utilisée.]

En particulier, vu que $f\big(x(t),t)\big)$ est une constante, il vient:
$$f\bigg(x_0+t\cot\Big(f(x_0,0)\Big),t\bigg)=f(x_0,0)$$
ce qui est une résolution implicite de l'équation: si on connaît $f$ à l'intant $0$ partout, on la connaît partout à l'instant $t$ via la formule ci-dessus qui montre que la valeur en chaque point est transportée (il y a un théorème des fonctions implicites derrière, qui ne marche que pour $t$ petit: d'ailleurs, au-delà, il n'y a pas toujours univité de la solution)...

En gros, cette méthode fournit toutes les solutions régulières (et seulement pour $t$ petit), mais pour l'instant, ce n'est pas explicite.

Attention: parfois, il y a vraiment problème d'unicité... pour plus de détails, consulter les livres mentionnés plus haut.

Remarque générale: il est rare de pouvoir trouver une formulation de la solution d'une équation aux dérivées partielles qui soit aussi 'explicite' (même si cela ne l'est pas à 100%). D'habitude, on doit se contenter de propriétés qualitatives.

Voici une autre suggestion de résolution, qui n'a sans doute rien à voir, mais qui, après coup, me semble davantage pertinente (dans la mesure où l'on garde une relative symétrie des variables $x$ et $y$).

On considère la fonction $G:u\in\R\longmapsto (\sin u,-\cos u)\in\R^2$. L'équation peut se réécrire $\mathrm{div} G(f)=0$. Ainsi, il existe un potentiel rotationnel $V(x,y)$ tel que $\partial_y V(x,y)=\sin f(x,y)$ et $\partial_x V(x,y)=\cos f(x,y)$. On a alors, grâce à l'identité $\sin^2+\cos^2=1$,
$$|\nabla V|=1$$
Cette équation s'appelle l'équation eikonale. Un ensemble générique de solutions sont les applications $X\in\R^2\mapsto d(X,\Omega)$ où $\Omega$ est un fermé quelconque de $\R^2$.

Mais justement, je viens par la deuxième méthode de donner une famille générique de solutions explicites (même si je ne les ai peut-être pas toutes):
$$f(x,y)=\mathrm{Arccos}\left(\frac{\partial}{\partial x}d\Big( (x,y),\Omega\Big)\right)
=\mathrm{Arcsin}\left(\frac{\partial}{\partial y}d\Big( (x,y),\Omega\Big)\right)
=\mathrm{Arctan}\left(\frac{\frac{\partial}{\partial y}d\Big( (x,y),\Omega\Big)}{\frac{\partial}{\partial x}d\Big( (x,y),\Omega\Big)}\right)$$
Ici, $\Omega$ est un fermé quelconque (par forcément un point $(a,b)\,$).

À titre personnel, la deuxième méthode me semble plus adaptée: l'équation eikonale est un classique de la littérature des EDP (et on tombe sur sa forme la plus simple de manière naturelle).