Calcul d'une primitive ...

Rouliane
Rouliane
dans Analyse
Bonjour,

Je n'arrive plus à montrer que $\displaystyle \int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} = ln(t+\sqrt{1+t^2})$.

Pourriez-vous m'aider svp. ( Je vois pas quel changement de variable faire )

Merci,

Rouliane

Réponses

  • gilles benson
    gilles benson
    $t=\sinh(u)$
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Sisbai
    Sisbai
    Salut

    Ce n'est pas un problème de changement de variable il me semble.

    $\frac{1}{\sqrt{1+t^2}}$ est la dérivée de $argsh(t)$

    Ensuite on montre (ou on sait) que $argsh(t)=ln(t+\sqrt{1+t^2})$.

    a+
  • Aleg
    Aleg
    Je ne comprends pas.
    Pour démontrer que $\int \frac{dt}{\sqrt{1+t^2}} = ln(t+\sqrt{1+t^2})$, il suffit de dériver le membre de droite...
  • gilles benson
    gilles benson
    oui mais il voulait faire un changement de variable...
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Rouliane
    Rouliane
    Merci à vous pour vos réponses.

    Gilles Benson >> effectivement, je n'y avais pas pensé, je trouve alors qu'une primitive est $\mathrm{argsh}(t)$, reste à montrer que c'est égal à $\ln(t+\sqrt{1+t^2})$.

    Sisbai >> encore fallait-il remarquer que c'était la dérivée de $\mathrm{argsh}(t)$ :D

    Aleg >> effectivement Aleg, on peut faire ça, mais je me demandais comment calculer une primitive de cette fonction en imaginant qu'on ne connait pas le résultat.

    Sinon, pour montrer que $\mathrm{argsh}(t)=\ln(t+\sqrt{1+t^2})$, on peut dériver les deux fonctions, montrer qu'on trouve la même dérivée, puis dire qu'elles ont la même valeur en 0 par exemple.
    Mais y a-t-il un autre moyen ?

    Merci encore à vous :)
  • Sisbai
    Sisbai
    Oui :

    on pose $y=argsh(t)$
    $\forall x\in\R, ch^2x-sh^2x=1$ d'où $ch(y)=\sqrt{1+t^2}$
    puis $e^y=ch(y)+sh(y)=t+\sqrt{1+t^2}$
    d'où $y=\ln(t+\sqrt{1+t^2})$

    a+
  • Rouliane
    Rouliane
    ah oui bien sur, merci !
  • gilles benson
    gilles benson
    Rebonjour, en fait, on peut directement résoudre l'équation: $\sinh(x)=y$ de la façon suivante:
    $$\frac{e^x-e^{-x}}{2}=y$$
    On pose $X = e^x$, soit : $X^2-2yX-1=0$
    $\Delta ' = y^2+1 > 0$
    $e^x = y+\sqrt{y^2+1}$
    $$x=\ln(y+\sqrt{y^2+1})$$
    ce qui donne une formule pour la bijection réciproque de $\sinh$ sur $\R$.

    La méthode est la même pour le cosinus hyperbolique...
    La méthode de Sisbaï donne les deux d'un coup...
    A demon  wind propelled me east of the sun
  • Rouliane
    Rouliane
    Merci.
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