Continuité, Passage en polaire
Bonjour, j'ai lu plusieurs cours d'analyse sur les fonctions à plusieurs variables dans le but de rechercher le maximum d'information sur la détermination de la continuité en un point de telles fonctions. Je n'ai pas tout à fait saisi la méthode utilisant le passage en coordonnées polaires.
Ce que je ne comprends pas, c'est comment et pourquoi la détermination d'une inégalité permet de conclure directement sur la continuité...
Et d'ailleurs, existe-t-il une méthode pour trouver cette inégalité car ça à l'air pas évident parfois...
Connaissez-vous un bon cours sur le sujet et des exercices, du plus basique au plus complet?
PS: Je voulais insérer un exercice sur le sujet en Latex mais je n'arrive pas à l'insérer... Comment faut-il faire? Désolé, je suis nouveau sur le forum.
Merci d'avance pour vos réponses
[Poste le sans cocher la case LaTeX, et on le traduira. AD]
Ce que je ne comprends pas, c'est comment et pourquoi la détermination d'une inégalité permet de conclure directement sur la continuité...
Et d'ailleurs, existe-t-il une méthode pour trouver cette inégalité car ça à l'air pas évident parfois...
Connaissez-vous un bon cours sur le sujet et des exercices, du plus basique au plus complet?
PS: Je voulais insérer un exercice sur le sujet en Latex mais je n'arrive pas à l'insérer... Comment faut-il faire? Désolé, je suis nouveau sur le forum.
Merci d'avance pour vos réponses
[Poste le sans cocher la case LaTeX, et on le traduira. AD]
Réponses
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Difficile de répondre sans l'exercice, mais il est probable que l'inégalité revienne à quelque chose du genre $| f(r\cos(t), r\sin(t)) - f(0,0)| \leq e(r)$, avec $e$ de limite 0 en 0, ce qui est bien la définition de la continuité en 0.
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Si, par exemple: $f(x,y)=\dfrac{xy}{x²+y²}$ pour $(x,y) \neq (0,0)$ et $f(0,0)=0$, on a :
$$f(r\cos(t),r\sin(t))= \sin(t)\cos(t),\mathrm{\ pour\ } r \neq 0$$ Donc, quand $r \to 0$ selon une droite, la limite dépend de l'angle $t$ (prendre par exemple $t=0$ et $t=\frac{\pi}{4}$ ), donc la fonction $f$ n'admet pas de limite en $(0,0)$. -
{\it "[Poste le sans cocher la case LaTeX, et on le traduira. AD]"}
RAJ l'a pris pour lui...!
[Pourquoi pas AD] -
Ah bon, il suffit de cocher la case Latex et tout se transforme automatiquement?
Il va falloir que j'essaie. -
Merci pour ces premières réponses.
GLaG, tu m'as bien débloqué en disant ceci:$| f(r\cos(t), r\sin(t)) - f(0,0)| \leq e(r)$, avec $e$ de limite 0 en 0
Je me posais encore une question. Une fois une inégalité trouvée sous forme polaire, est-il insdispensable de repasser sous forme cartésienne pour conclure?
Comme dans cette exemple ?
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Tu peux toujours le faire, c'est mécanique et ça montre que tu as bien compris l'intérêt du passage en polaire...
Dans ta rédaction tu devrais préciser 'fraction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas'; un peu plus loin 'pour $r \neq 0$' ; puis 'f est donc continue en (0,0), donc sur $\R^2$'. -
Salut,
Déjà cet emploi intempestif du signe $\Rightarrow$ à la place de "donc" éveille ma méfiance ; pour moi nul besoin de repasser en coordonnées cartésiennes, une majoration du type évoqué par GLaG suffit amplement, j'irai même jusqu'à dire que $\lim_{r \to 0}$ est plus naturel que $\lim_{(x,y) \to 0}$ qui par définition veut dire que la norme du vecteur de coordonnées $(x,y)$ tend vers $0$, autrement dit que $r$ tend vers $0$... -
Aprés avoir fait votre majoration en polaires, vous pouvez aussi revenir, en loucedé, aux coordonnées cartésiennes, en montrant directement (dans votre exemple) que |f(x,y)| <= racine (x²+y²).
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Merci pour ces indications. Je me permets de mettre quelques autres exemples histoire que vous me disiez si c'est mieux. Merci d'avance.
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Cette rédaction est-elle meilleure que celle-ci? Merci d'avance.
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C'est seulement chez moi ou les images des deux messages précédents de Phidyos sont presque totalement obstruées par de gros rectangles gris ?
[Chez moi ils sont en clair. Tu peux "clic droit sur l'image" puis "Visualiser l'image", ou encore "sauver sur disque" et visualiser ensuite. AD] -
C'est bizarre... Chez moi, je vois tout correctement..
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Bonjour!
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