Continuité, Passage en polaire
Bonjour, j'ai lu plusieurs cours d'analyse sur les fonctions à plusieurs variables dans le but de rechercher le maximum d'information sur la détermination de la continuité en un point de telles fonctions. Je n'ai pas tout à fait saisi la méthode utilisant le passage en coordonnées polaires.
Ce que je ne comprends pas, c'est comment et pourquoi la détermination d'une inégalité permet de conclure directement sur la continuité...
Et d'ailleurs, existe-t-il une méthode pour trouver cette inégalité car ça à l'air pas évident parfois...
Connaissez-vous un bon cours sur le sujet et des exercices, du plus basique au plus complet?
PS: Je voulais insérer un exercice sur le sujet en Latex mais je n'arrive pas à l'insérer... Comment faut-il faire? Désolé, je suis nouveau sur le forum.
Merci d'avance pour vos réponses
[Poste le sans cocher la case LaTeX, et on le traduira. AD]
Ce que je ne comprends pas, c'est comment et pourquoi la détermination d'une inégalité permet de conclure directement sur la continuité...
Et d'ailleurs, existe-t-il une méthode pour trouver cette inégalité car ça à l'air pas évident parfois...
Connaissez-vous un bon cours sur le sujet et des exercices, du plus basique au plus complet?
PS: Je voulais insérer un exercice sur le sujet en Latex mais je n'arrive pas à l'insérer... Comment faut-il faire? Désolé, je suis nouveau sur le forum.
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Réponses
$$f(r\cos(t),r\sin(t))= \sin(t)\cos(t),\mathrm{\ pour\ } r \neq 0$$ Donc, quand $r \to 0$ selon une droite, la limite dépend de l'angle $t$ (prendre par exemple $t=0$ et $t=\frac{\pi}{4}$ ), donc la fonction $f$ n'admet pas de limite en $(0,0)$.
RAJ l'a pris pour lui...!
[Pourquoi pas AD]
Il va falloir que j'essaie.
GLaG, tu m'as bien débloqué en disant ceci: Je n'avais pas fait le rapprochement avec la définition de la continuité.
Je me posais encore une question. Une fois une inégalité trouvée sous forme polaire, est-il insdispensable de repasser sous forme cartésienne pour conclure?
Comme dans cette exemple ?
Dans ta rédaction tu devrais préciser 'fraction rationnelle dont le dénominateur ne s'annule pas'; un peu plus loin 'pour $r \neq 0$' ; puis 'f est donc continue en (0,0), donc sur $\R^2$'.
Déjà cet emploi intempestif du signe $\Rightarrow$ à la place de "donc" éveille ma méfiance ; pour moi nul besoin de repasser en coordonnées cartésiennes, une majoration du type évoqué par GLaG suffit amplement, j'irai même jusqu'à dire que $\lim_{r \to 0}$ est plus naturel que $\lim_{(x,y) \to 0}$ qui par définition veut dire que la norme du vecteur de coordonnées $(x,y)$ tend vers $0$, autrement dit que $r$ tend vers $0$...
[Chez moi ils sont en clair. Tu peux "clic droit sur l'image" puis "Visualiser l'image", ou encore "sauver sur disque" et visualiser ensuite. AD]