continuité

bonjour michel,

Dans ce résultat, la compacité de l'ensemble de départ est évidemment l'hypothèse eessentielle et donc la démonstration va dépendre de la façon dont on "traduit" la compacité.

Egoroff t'a clairement répondu avce Borel-Lebesgue (mais c'est toi qui n'a pas situé précisément les pré-requis que suppose ta question)

Dans le cas d'une fct continue définie sur un intervalle réel compact, tu trouveras une preuve alternative (donc avec définition alternative de la compacité) dans le poly ci-joint (théorème 7.33 page 257).

Bonjour ,

Supposons qu'il existe $\epsilon >0$ tel que $\forall \delta >0$ , on puisse trouver
des points x et y de K vérifiant $|x-y| < \delta$ et $|f(x)-f(y)| > \epsilon$.
On construit alors deux suites $(x_{n})$ et $(y_{n})$ de K telles que pour tout entier n :

$|x_{n}-y_{n}| < \delta$ et $|f(x_{n})-f(y_{n})| > \epsilon$

La suite $(x_{n})$ admet une sous suite $(x_{n_{k}})$ convergente vers $x \in K$.

Comme la différence $|y_{n_{k}}-x_{n_{k}}|$ tends vers 0 quand k tends vers l'infini , $(y_{n_{k}})$ converge également vers x.

Ceci est absurde car f est continue au point x...

Il existe toujours un une longueur minimum pour les démonstrations Michel... Peut-être que ce résultat a une longueur trop longue.

A toutes fins utiles, je peux t'en proposer une en "analyse non standard" qui te "fera comprendre la substantifique moelle" (mais non une démonstration admise par les "concours", les jurys ne connaissent pas IST), mais à condition d'admettre le back ground de IST ce que je ne vais pas faire dans ce post:


$E$ est ton espace compact, $f$ est ta fonction continue.

Le fait qu'elle est continue se dit en IST: pour tous $a,x$: si $a$ est standard et si $x$ est superproche de $a$ alors $f(a)$ est spp de $f(x)$

Le fait qu'elle soit uniformément continue nécessite, pour être énoncé qu'il existe un moyen de mesurer une sorte de "distance" (structure uniforme) entre les éléments:

en IST, {\it $f$ uniformément continue} c'est "pour tous $x,y$: si $x$ et $y$ sont superproches l'un de l'autre alors $f(x)$ et $f(y)$ aussi". (Autrement dit, la distance (ou ce qui fait office de distance) entre les 2 est superpetite)

Le fait que $E$ soit compact se dit en IST: pour tout $x$ il existe $a$ standard tel que $x$ soit superproche de $a$.

{\bf il n'y a donc rien à prouver}

Si tu veux "comprendre", tu peux te représenter les objets standards comme les vraies objets et les autres comme des fantômes indiscernables des vrais au niveau des énoncés mathématiques.

Par exemple, $\R$ n'est pas compact car pour un nombre $x$ supergrand n'est superproche d'aucun nombre $a$ standard.

***

Supposons $E$ compact en termes classiques. Soit $x$ un élément de $E$ qui n'est superproche d'aucun $a$ standard. Soit $\phi$ standard qui associe à chaque $a$ standard un ouvert qui le contient, mais ne contient pas $x$. Soit $F$ fini et standard $\subseteq E$ tel que les $\phi (a)$ pour $a\in F$ recouvrent $E$. Alors $x$ appartient à l'un des $\phi (a)$, $a\in F$, donc $a$ standard. Contradiction.

Supposons $E$ compact au sens IST et soit $R$ un recouvrement ouvert (supposé contre exemple à la compacité de $E$). Soit $F$ un ensemble fini qui contient tous les standards de $R$. La réunion de $F$ n'étant pas $E$ soit $x$ hors de cette réunion et soit $a$ un standard superproche de $x$. Soit $U\in R$ standard qui contient $a$. Problème: $x$ étant superproche de $a$, $x\in U$. Or $U\in F$.

egoroff> Si Michel est en CPGE, Borel-Lebesgue a disparu depuis bien longtemps.

gilles benson> alors que l'inspection général prêchait depuis longtemps déjà pour la caractérisation séquentielle, Ovaert m'avait reproché de ne pas assez insister sur la précompacité...

oui enfin bon je trouve la démonstration de M.Chalons un peu pipo.

Je veux bien qu'il n'y ait rien à prouver puisqu'on a reporté toute la difficulté dans ce qu'on entend par la notion de compact. Ce qui serait intéressant, serait de prouver que la notion de compacité en analyse non standard est équivalente à celle qu'on connaît (propriété de Borel-Lebesgue)

N'y connaissant strictement rien en analyse non standard, ce poste est sûrement truffé d'immondismes qui feraient palir les inventeurs de cette théorie, qu'ils m'en excuse.

Bonjour,

Aleg: je ne connaissais ni cette notion de jauge , ni le lemme de Cousin, car ne les ayant jamais rencontrés auparavant . C'est un plus par rapport à B-W et B-L ?
(n'ai pas encore tout lu en détail ).

C'est le quatrième chapitre de ton intéressant poly que je piste. Ai-je raté un épisode ?

Merci.

Merci beaucoup Aleg pour cette lecture saine ( Cousin + chapitre 5 ).
Ne m'envoie pas chapitre par chapitre, c'est plus motivant de les cueillir lors de tes interventions.

Les seules jauges que je connaissais sont les fonctions de Minkowski rencontrées dans les espaces localement convexes.

Amicalement.