définition géométrique vs analytique
Bonjour à tous, je lisais il y a quelque temps le prologue du bouquin de Rudin (analyse réelle et complexe) où il énonce et démontre les propriétés essentielles de l'exponentielle (genre $e^{z_1z_2}=e^{z_1}e^{z_2}$..) à partir de quasiment rien. Il en profite pour donner une définition analytique de $\pi$ : c'est le plus petit réel positif $x$ tel que $e^{ix}=-1$ (là, je suis plus sur qu'il ne dit pas plutot que c'est le plus petit réel positif $x$ tel que $e^{i\pi/2}=i$ et évidemment maintenant que je pense à poser la question, je n'ai pas le bouquin sous la main :X)
Et ma question est la suivante : une fois qu'on a bien défini $\pi$ analytiquement de la manière plus ou moins décrite ci-dessus, comment est-ce qu'on revient à la définition géométrique plus habituelle finalement? Ou ce qui revient au meme, comment vérifie t-on que ce $\pi$ est le meme que le $\pi$ du cercle?
Et ma question est la suivante : une fois qu'on a bien défini $\pi$ analytiquement de la manière plus ou moins décrite ci-dessus, comment est-ce qu'on revient à la définition géométrique plus habituelle finalement? Ou ce qui revient au meme, comment vérifie t-on que ce $\pi$ est le meme que le $\pi$ du cercle?
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Réponses
* Pour calculer le périmètre du cercle, tu résous une intégrale (niveau TS à peu près je crois)
* Pas besoin d'expliciter trop cette intégrale pour avoir des égalités entre divers nombres $\pi$ (le $\pi$ du périmètre et le $\pi$ de l'aire)
* L'exponentielle étant {\bf la seule fonction} à satisfaire certaines propriétés (en rapport avec ton intégrale) et {\bf à être continue, dérivable partout où t'as envie, tu reliras les 2 sans avoir besoin d'inspiration}
* Pour mesurer la "longueur" d'autre chose qu'un segment, tu "additionnes" des petits hypoténuses en utilisant pythagore, et tu passes à la limite (pour justifier que ton intégrale ci-dessus est la "bonne" formule du périmètre d'un cercle)
* pour prouver Pythagore, tu tapes sur google, il y a au bas mot 10 preuves différentes
On peut alors appliquer les méthodes usuelles de calcul d'aire et de surface.
D'ailleurs, j'avais commencé à mettre comme titre un truc du genre "définition géometrique de pi" et je me suis dit que c'était une mauvaise idée, j'avais pas trop envie que ca tourne comme dans le fil que tu mets en lien
Sinon le lien vers le cours d'analyse compexe de la mère Michèle donné dans la discussion en question peut t'intéresser je pense. Comme je suis dans un bon jour je le mets directos : \lien{http://www-irma.u-strasbg.fr/\tilde{}maudin/analysecomp.pdf}. J'espère que çe sera moins hors-sujet.