transcendance
dans Analyse
Bonjour,
comment faire pour savoir si la solution de l'équation cos(x)=x est transcendante ou non ?
Merci de vos indications.
Sébatiduroc.
comment faire pour savoir si la solution de l'équation cos(x)=x est transcendante ou non ?
Merci de vos indications.
Sébatiduroc.
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Réponses
1-x²/2 + x^4/4! etc... ?
Attendons lintervention de spécialistes.
Ce nombre étaient bien connu des élèves qui s'ennuyaient pendant le cours de math. et tapotaient sur ler TI 30....
j'ai connu aussi...
Plus sérieusement, ta remarque ne fournirait-elle pas une piste pour la démo que tu cherches?
(je ne suis pas pointu sur ce genre de questions).
Sébatiduroc.
PS : c'est en tout cas moins rigolo de faire sin sin sin...
Le résultat suivant permet de conclure que ce nombre est transcendant :
Si $a$ est non nul et algébrique sur $\mathbb Q$, alors $e^a$ est trancsendant. Je crois que c'est dû à Gelfond et Schneider, c'est une façon de montrer la transcendance de $\pi$.
$\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}=x$
Supposons $e^{ix}$ algébrique. Alors $x$ l'est aussi, donc $ix$ est algébrique, ce qui contredit le théorème.
Exercice: prouver qu'il n'y a qu'une seule solution! (Avec un minimum de background)
Quelqu'un trouvera-t-il peut-être l'occasion de "se mettre en valeur" (clin d'oeil à un autre post) en signalant et précisant cet énoncé vague que j'évoque...
$e^{ix}$ est transcendant. Comme $\cos ^2x+\sin ^2 x=1$, $\cos x$ et $\sin x$ sont ou tous les deux algébriques, ou tous les deux transcendants. Ils ne sont pas tous les deux algébriques, sinon $e^{ix}$ le serait. Donc $\cos x = x$ est transcendant.
Si $a$ est non nul et algébrique sur $\mathbb Q$, alors $e^a$ est trancsendant. Je crois que c'est dû à Gelfond et Schneider}
Dans ton infinie bonté, et sans vouloir déclencher ton orageuse méchanceté, {\small peut-être qu'une petite justification} {\tiny ou un petit lien...}
On peut trouver une preuve de ce résultat dans les quelques pages consacrées à la transcendance de $\pi$ et $e$ à la fin de l'Algebra de Lang.
Concernant : Hilbert, Gelfond, Schneider:
\lien{http://serge.mehl.free.fr/chrono/Schneider.html}
si $a$ et $b$ sont algébriques avec $a \neq 0$ et $a \neq 1$, et si $b$ n'est pas rationnel, alors $a^b$ est transcendant.
Par contraposée, il vient:
si $a^b$ est algébrique avec $a \neq 0$ et $a neq 1$ et $b$ non rationnel, $a$ ou $b$ est transcendant.
Le résultat donné dans le lien de bs me paraît faux.
Gilles , tu écris :
"si $a$ et $b$ sont algébriques avec $a \neq 0$ et $a \neq 1$, et si $b$ n'est pas rationnel, alors $a^b$ est transcendant".
C'est exactement ce qui figure dans le lien, et c'est aussi ce qui est rappelé dans le Duverney: Théorème 12.7 p161.
Amicalement.
En fait c'est le théorème de Lindemann généralisé (cela ne vient pas de GS) qui dit que $e^x$ est transcendant dès que $x$ est algébrique...
Là encore ma référence est {\it Irrational numbers} de Ivan Niven
Dans ce cas, la solution de $x= \cos x$ parait évidemment transcendante.
$$x \text{ algébrique } \Rightarrow \cos x \text{ algébrique } \Rightarrow \sin x \text{ algébrique } \Rightarrow e^{ix}\text{ algébrique }$$