Aujourd'hui j'ai eu l'occasion de me poser la question : existe-t-il une bijection entre R et R² ? J'ai recherché dans le forum sans succès. Quelqu'un est-il capable d'éclairer ma lanterne ?
sinon le théorème de Hahn-Mazurkiewicz nous apprend que n'importe quel métrique compact connexe, localement connexe est l'image de $[0;1]$ par une application continue. A partir de là on voit facilement que $\R^{n}$ est l'image continue de $\mathbb{R}$, ainsi que bien d'autres ensembles
Pour que M. Chalons soit sûr à 100% : supposons qu'il existe une injection continue de R^2 dans R. Par restriction on obtient une injection continue f de la sphère unité S dans R. Comme S est compacte et connexe, f réalise un homéomorphisme entre S et f(S), qui est compact et connexe donc de la forme [a ; b]. Soit c dans S tel que f(c) soit différent de a et b. Alors S\{c} (connexe) est homéomorphe à [a ; cc ; b] (non connexe), impossible.
un argument simple pour montrer qu'il n'y a pas de surjection $f \in C^1$ de $\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$. En effet, $f$ est alors une fonction localement lipschitzienne. Donc l'image du segment $[n;n+1]$ est de dimension de Hausdorff 1, et donc l'image $f(\mathbb{R}) = \bigcup_n f([n;n+1])$ est aussi de dimension de Hausdorf $1$, ce qui n'est pas le cas de $\mathbb{R}^2$.
Reste à exclure le cas dérivable ..
oui, il n'y a pas de surjection $S(x)=(f(x); g(x))$ différentiable:
Dans le cas contraire, soit $E$ l'ensemble des $x \in \mathbb{R}$ tels que $f'(x)=0$. Alors $f(E)$ est de mesure nulle (théorème de Sard). Maintenant, pour tout $x \in \mathbb{R}$, soit $F_x= \{ z\in \mathbb{R}: f(z)=x\}$. Comme $S$ est surjective, $F_x$ est indénombrable, donc admet un point d'accumulation $a_x$. Clairement, $f'(a_x)=0$ et $f(a_x)=x$, donc $fx = (a_x) \in f(E)$. Cela montre que $f(E)=\mathbb{R}$, et donc n'est pas de mesure nulle: contradiction.
Réponses
bijection entre $\R$ et $\R ^2$: oui!
surjection {\bf continue} de $\R$ sur $\R ^2$: oui aussi!
injection continue de $\R^2$ dans $\R$: non (fiabilité $99,9\%$)
surjection {\bf dérivable} de $\R$ sur $\R ^2$: non!
injection dérivable de $\R^2$ dans $\R$: non!
$(3,141..; 2.718..) \to 32.174118..$
Reste à exclure le cas dérivable ..
{\bf Exercice:} les images de graphes de fonctions dérivables de $[0,1]$ dans $[0,1]^2$ ont-ils tous une longueur finie?
Dans le cas contraire, soit $E$ l'ensemble des $x \in \mathbb{R}$ tels que $f'(x)=0$. Alors $f(E)$ est de mesure nulle (théorème de Sard). Maintenant, pour tout $x \in \mathbb{R}$, soit $F_x= \{ z\in \mathbb{R}: f(z)=x\}$. Comme $S$ est surjective, $F_x$ est indénombrable, donc admet un point d'accumulation $a_x$. Clairement, $f'(a_x)=0$ et $f(a_x)=x$, donc $fx = (a_x) \in f(E)$. Cela montre que $f(E)=\mathbb{R}$, et donc n'est pas de mesure nulle: contradiction.