petite question sur les complexes
Bonjour à tous c'est une question bien classique sur la factorisation de $X^{2n}-2\cos aX^n+1$
qui dans $\C$ peut s'écrire avec $k\in \{0,..,n-1\} : \prod\limits_{k=0}^{n-1}\big(X-\exp(i\frac{a+2k\pi}{n})\big) \prod\limits_{k=0}^{n-1}\big(X-\exp(i\frac{-a+2k\pi}{n})\big)$
Ce que je ne comprends pas, c'est comment dans $\R$ cette fois, on passe de cette ligne à :
$X^{2n}-2\cos aX^n+1=
\prod\limits_{k=0}^{n-1}\big(X-\exp(i\frac{a+2k\pi}{n})\big) \big(X-\exp(\frac{a+2k\pi}{n}) \big)$
J'ai beau revoir mon cours sur les complexes, je ne vois pas bien ...
svp ...une petite explication ...
qui dans $\C$ peut s'écrire avec $k\in \{0,..,n-1\} : \prod\limits_{k=0}^{n-1}\big(X-\exp(i\frac{a+2k\pi}{n})\big) \prod\limits_{k=0}^{n-1}\big(X-\exp(i\frac{-a+2k\pi}{n})\big)$
Ce que je ne comprends pas, c'est comment dans $\R$ cette fois, on passe de cette ligne à :
$X^{2n}-2\cos aX^n+1=
\prod\limits_{k=0}^{n-1}\big(X-\exp(i\frac{a+2k\pi}{n})\big) \big(X-\exp(\frac{a+2k\pi}{n}) \big)$
J'ai beau revoir mon cours sur les complexes, je ne vois pas bien ...
svp ...une petite explication ...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si j'ai bien lu, d'un côté tu as un produit des $a_i\times b_i$ et de l'autre tu as le produit des $a_i$ multiplié par le produit des $b_i$.
Le 2 sont égaux à cause de la commutativité et associativité de la multiplication
{\bf Exercice:} reprouve (irréfutablement) que $(a\times b)^n=(a^n)\times (b^n)$
Prouve aussi que $a\times b=b\times a$ et que $a\times (bc)=(ab)\times c$ (ce n'est pas si facile que ça, si on admet le minimum qu'un enfant accepte sans preuve)
ce que je ne comprends toujours pas bien c'est comment on passe de :
$\prod\limits_{k=0}^{n-1}(X-e^{i\frac{a+2k\pi}{n}})\prod\limits_{k=0}^{n-1}(X-e^{i\frac{-a+2k\pi}{n}})$\\
dans $C$ à :
$\prod\limits_{k=0}^{n-1}(X-e^{i\frac{a+2k\pi}{n}})\mathbf{(X-e^{\frac{a+2k\pi}{n}}
)}$ dans R
***
{\huge
$\prod\limits_{k=0}^{n-1}(X-e^{i\frac{a+2k\pi}{n}})\prod\limits_{k=0}^{n-1}(X-e^{i\frac{-a+2k\pi}{n}})$\\
dans $\C$ à :
$\prod\limits_{k=0}^{n-1}(X-e^{i\frac{a+2k\pi}{n}})\mathbf{(X-e^{\frac{a+2k\pi}{n}}
)}$ dans $\R$
}
Ah bah, le "huge" ne marche pas avec les maths... Bon, je vais me rapprocher de l'écran!
Mais sinon, si tu avais écrit la même chose avec juste le fait qu'on passe de $\C$ à $\R$, je te répondrais qu'il y a $99,999\%$ de chances que c'est "admis" car "presque évident": si un truc de genre $a=blabla$ est vrai dans $\C$, et qu'on {\bf suppose} que $a$ est un nombre réel, alors "$blabla$ est réel" a le droit d'être déduit sans se justifier (à ce niveau)
{\bf Je tiens à dire que quelqu'un essaie de me faire passer pour un fou: il y a 3 mn, le premier post était "refait par AD à 22h35" je crois, avec un "R", un "k" et un "C" qui faisaient 10cm de haut. Et là, plus rien... et pourtant il n'est pas marqué que de nouvelles modif ont été faites. Peut-être était-ce mon navigateur? Et c'est en réaction à ça que j'avais écrit un "merci" géant!!!!}
{\bf Mais je te jure sur l'honneur que je savais EXACTEMENT que tu allais dire un truc dans ce genre}
(je ne savais pas la date c'est tout! Et pour tout t'avouer, je mettais une disjonction: toi ou Mathilde)
mais je ne comprends toujours pas :
ce n'est pas le "a" qui devient "-a", il y a aussi le "i" qui disparait....
enfin je ne comprends toujours pas le passage ? (si ce n'est que je "vois" bien que le résultat est un réel !!
Comment dire?
L'Histoire entière est une application de $E$ dans $T$
Vu de loin tu es (enfin ton histoire) une droite de $E$ (qui est un espace affine). Tu es donc très long. Et "ton histoire dans notre monde apparent" est l'intersection entre cette droite et un sous-espace de dimension 4 de $E$ qui ne la contient pas.
Exercice: $T$ est l'ensemble des... quoi?
Ce qui me fait dire que tu as un grand avenir dans les maths, car {\bf tu as tout de suite flairé} que c'était là un résultat monumental, or, en l'absence de vocation, n'importe quel lycéen dit {\it "ouais, bah c'est à peu près pareil"!!}
Soit tu postes pour aider Robert, soit tu vas troller ailleurs.
C'est le dernier avertissement avant la modération.
Alain
mais avec tout çà, je ne comprens toujours pas ....d'autant plus que l'égalité est recopiée d'un texte corrigé,
le résltat final étant : $\prod\limits_{k=0}^{n-1}(X^2-2\cos \frac {a+2k}{n}X+1)$
Je croyais pourtant...
comment faîtes vous pour voir que le terme de droite est bien réel??j'ai du mal à voir..
en regardant son conjugué et en prouvant qu'il lui est égal?
merci
Alors les coefficients du polynôme à gauche et du polynôme à droite sont égaux (donc réels).
mais pour la dernière égalité (là ou un "i" a disparu et un "a" transformé en "-a", là,je ne vois pas... désolée
merci quand même
ça fait plus d'une heure que je cherche et je commençais à desespérer...
merci bien!
Bonne nuit
Quoique le théorème de Godel dit justement que ça, ce n'est pas si sûr!
bon moi j'ai enfin trouvé mais pas en suivant l'indication de l'exercice, mais directement en regroupant les racines conjuguées 2 à 2 dans la factorisation dans C,
merci à tous