Intégrale d'Euler de type 2
dans Analyse
En 1772, alors qu'il cherche encore une 'closed-form' pour les valeurs de la fonction zeta
aux entiers impairs, Euler s'intéresse à l'évaluation des intégrales $$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}
\displaystyle \theta \ln ( 2 \cos \theta) \: \mathrm{d}\theta = - \, \frac{7}{16} \, \zeta(3), $$ $$ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}
\displaystyle \theta^2 \ln ( 2 \cos \theta) \: \mathrm{d}\theta = - \, \frac{\pi}{4} \, \zeta(3). $$
Les intégrales de cette forme (forme polynomiale, intégrales d'Euler de type 1) ont été étudiées et approfondies.
Voici deux intégrales nouvelles (forme rationnelle, intégrales d'Euler de type 2) qui admettent une 'closed-form'
$\bf{Proposition}$ : $$ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}
\displaystyle \frac{\ln^2 (2 \cos \theta)}{\theta^2 + \ln^2 ( 2 \cos \theta)} \: \mathrm{d}\theta = \displaystyle \frac{\pi}{8}\left(3 - \ln(2 \pi)+\gamma \right), $$ $$ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \displaystyle \frac{\theta^2}{\theta^2 + \ln^2 ( 2 \cos \theta)} \: \mathrm{d}\theta = \displaystyle \frac{\pi}{8}\left(1 + \ln(2 \pi)-\gamma \right), $$ où $\gamma$ désigne la constante d'Euler.
Cordialement,
Anselme-Olivier.
\bf{Joyeux anniversaire à Léonhard Euler né le 15 avril 1707 !!!}
aux entiers impairs, Euler s'intéresse à l'évaluation des intégrales $$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}
\displaystyle \theta \ln ( 2 \cos \theta) \: \mathrm{d}\theta = - \, \frac{7}{16} \, \zeta(3), $$ $$ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}
\displaystyle \theta^2 \ln ( 2 \cos \theta) \: \mathrm{d}\theta = - \, \frac{\pi}{4} \, \zeta(3). $$
Les intégrales de cette forme (forme polynomiale, intégrales d'Euler de type 1) ont été étudiées et approfondies.
Voici deux intégrales nouvelles (forme rationnelle, intégrales d'Euler de type 2) qui admettent une 'closed-form'
$\bf{Proposition}$ : $$ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}
\displaystyle \frac{\ln^2 (2 \cos \theta)}{\theta^2 + \ln^2 ( 2 \cos \theta)} \: \mathrm{d}\theta = \displaystyle \frac{\pi}{8}\left(3 - \ln(2 \pi)+\gamma \right), $$ $$ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2} \displaystyle \frac{\theta^2}{\theta^2 + \ln^2 ( 2 \cos \theta)} \: \mathrm{d}\theta = \displaystyle \frac{\pi}{8}\left(1 + \ln(2 \pi)-\gamma \right), $$ où $\gamma$ désigne la constante d'Euler.
Cordialement,
Anselme-Olivier.
\bf{Joyeux anniversaire à Léonhard Euler né le 15 avril 1707 !!!}
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Réponses
$$ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}
\displaystyle \frac{\theta^2 \ln ( 2 \cos \theta)}{(\theta^2 + \ln^2 ( 2 \cos \theta))^2} \: \mathrm{d}\theta =
\displaystyle \frac{\pi}{16}\left(\frac{7}{12} + \frac{1}{3}\ln \sqrt{2 \pi} - \frac{\zeta'(2)}{\pi^2}\right)\!,$$ $$\displaystyle \int_{0}^{\pi/2}
\displaystyle \frac{\ln^3( 2 \cos \theta)}{(\theta^2 + \ln^2 ( 2 \cos \theta))^2} \: \mathrm{d}\theta =
\displaystyle \frac{\pi}{16}\left(\frac{41}{12} - \frac{1}{3}\ln \sqrt{2 \pi} + \frac{\zeta'(2)}{\pi^2}\right)\!.$$
Je trouve que la relation entre ce type d'intégrales et la fonction $\zeta$ de Riemman est étroite. Cela mérite bien quelques approfondissements.
Anselme-Olivier.
$ \displaystyle \zeta(0) = \frac{1}{2}$
$ \displaystyle \lim_{s \rightarrow 0} {\left( \zeta(1+s) - \frac{1}{s}\right)} = \gamma $
$ \displaystyle \zeta'(0) = -\frac{1}{2}\ln(2 \pi)$
racine(a**2cost**2+sint**2+c**2)
Merci.
Anselme-Olivier.
bravo et merci à Anselme-Olivier pour ces intégrales eulériennes
une petite erreur cependant à rectifier dans le résultats signalés:
Zéta(0)=-1/2 (et non 1/2)
c'est Zéta alternée qui prend la valeur 1/2 pour s=0
cordialement
tu les as démontrés ?
si oui,c'est quoi la méthode en fait ?
Cordialement,
Anselme-Olivier.
Il y a pas mal de belles conjectures aussi :-)
Ecoute notre ami Benoît, publie un livre comme Borde
J'admire toujours ton travail maître
Bonnes vacances
Toutes les 'belles' conjectures n'en sont plus, aujourd'hui.
Tout est démontré.
Tu sais, quelquefois, une conjecture à la fin d'un article, c'est une façon
d'impliquer le lecteur intéressé...
Bonnes vacances à toi.
Anselme-Olivier.
Tu sembles t'intéresser à : $$ \displaystyle \int_{0}^{\pi/2}
\displaystyle \frac{\ln\cos \theta}{\theta^2} \: \mathrm{d}\theta $$ Cette intégrale est jolie, mais il y a peu de chances qu'elle s'exprime avec des fonctions connues.
J'ai l'impression que tu t'attaques à la face nord...
Anselme-Olivier.
j'ai obtenu seulement cette égalité : $\displaystyle{\int\limits_0^{{\pi \over 2}} {{{\ln \cos \theta } \over {\theta ^2 }}d\theta } = \sum\limits_{k = 1}^{ + \infty } {\left( { - 1} \right)^k {{\left( {4^k - 1} \right)B_{2k} \pi ^{2k - 1} } \over {k\left( {2k - 1} \right)\left( {2k} \right)!}}}}$
Les $\zeta(2k)$ sont à peine dissimulés...
après simplification je trouvais cette belle égalité
la convergence est très lente :-)