Pensez à lire la Charte avant de poster !
Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
74 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Expression analytique d'une forme géométrique ?

Envoyé par progfou 
Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
Bonjour tout le monde !

Je me demandais si n'importe quelle forme géométrique (triangle, carré, hexagone, etc.) pouvait s'écrire sous une forme analytique y=f(x) ?
Un cercle, c'est oui $(x-x_0)²+(y-y_0)²=R²$ mais pour un polygone, est-ce possible ?

Merci d'avance de vos réponses !
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Pour un carré de côté a

|x|+|y|= a rac(2)/2

Que tu peux ensuite translater, rotationner etc...

Remarque pour ton cercle, l'équation n'est pas de la forme y=f(x)

[equation corrigée à postériori]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept années et a été effectuée par jacquot.
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
Exact, c'est le cas le plus général qui m'intéresse :).
Pour le carré, je comprends, après avoir tracé :).
Mais du coup, peut-on généraliser ? Comment ?
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Bon,

On calme le jeu.
D'abord, dans ma précipitation, j'ai fait une faute :
pour le carré, c'est
$|x|+|y| =\frac {a\sqrt {2}}{2}$

Après, tu peux le faite tourner
$x' = x \cos\alpha -y \sin\alpha $
$y' = x \sin\alpha + y \cos\alpha $

Après tu peux déplacer son centre en $A (x_0;y_0)$
obtenant:
$$ | (x-x_0) \cos\alpha -(y-y_0) \sin\alpha |+| (x-x_0) \sin\alpha + (y-y_0) \cos\alpha |= \frac {a\sqrt {2}}{2}$$
Pour le cas plus général, a priori, je ne suis pas sûr que ça puisse faire à tous les coups, mais on pourrait s'intéresser modestement au cas du triangle...

A suivre !
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
OK, je vois le truc. Ca fonctionnait de mon côté car la division par 2 était bien placée :).

L'explication complète pour le carré me va assez bien ! C'est intéressant.
Si l'on peut avoir le cas du triangle, et le cas de l'hexagone, ça peut fortement m'intéresser ;).

Merci de ces éclaircissements. Comment obtiens-tu l'équation de base du carré (sans rotation ni modification du centre) ? le $\frac{\sqrt{2}}{2}$ vient d'où ?

[La case LaTeX. :) AD]
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Cher progfou,

D'abord, je te réponds pour le carré:
Le carré de sommets $(1;0),\ (0;1),\ (-1;0),\ (0;-1)$ a un côté de $\sqrt{2}$.
Le deuxième membre de mon équation sert juste à le recalibrer.

A présent, je réfléchis au cas du triangle. je sens qu'il y a moyen de faire avec des fonctions caractéristiques et une affinité.

J'aimerais aussi que tu me racontes un peu comment tu en es venu à te poser cette question de décrire les objets géométriques par des équations.
J'imagine que tu es lycéen et que le cours sur les équations de cercles t'a intéressé (?)
Est-ce une question que tu te poses juste comme ça, par curiosité, ou bien veux-tu tracer ces objets géométriques avec un ordi à l'aide d'un logiciel ou sur l'écran de ta calculatrice ?

Si tel est le cas, cette recherche pourra constituer un bon exercice, bien motivant, puisqu'il y a une production au bout. Il est intéressant d'étudier comment partir d'une figure de base, puis la faire tourner, l'étirer, la déplacer.

Si ta question se place dans un contexte plus général, attendons des réponses de spécialistes.

PS Je vois aussi que tu as un peu de mal avec le Latex : dans ton message, tu as oublié de cocher la case Latex et il faudrait corriger la formulation : $\frac{sqrt(2)}{2}$ par: $\frac {\sqrt {2}}{2}$ (espaces derrière les commandes \verb*=\frac= et \verb*=\sqrt= )
[Sauf vot'respect, les espaces derrière \verb*=\frac= et \verb*=\sqrt= ne sont pas nécessaires, par contre les \verb*=( )= au lieu de \verb*={ }= derrière \verb*=\sqrt= sont à corriger. J'ai corrigé en conséquence dans le message de Progfou. ;) AD]

A plus pour le triangle !
Cordialement.
jacquot
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
OK, maintenant que le cas du carré est parfaitement compris, je le sens mieux :).
A vrai dire, je ne suis plus lycéen depuis un bon moment, mais je me suis posé cette question en donnant un cours sur les équations de cercles. En revoyant cela, je me suis demandé bêtement si l'on pouvait faire ça avec n'importe quel polygone.

Du coup, pour la généralisation, j'aimerais bien avoir l'avis de spécialistes.
Le plan complexe ne peut-il pas nous aider ?
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Merci AD pour les remarques concernant le Latex.
Comme d'autres utilisateurs, je l'ai appris sur le tas. [Tout comme moi :) AD]


Pour progfou, voici une description du triangle de sommets B(-1;0) J(0;1) I(1;0)
On voudra que $y=1-|x|$ (côtés BJ et IJ) ou que $y=0$ (base BI)
De plus, il faut limiter ce tracé à $-1\leq x\leq 1$. Pour ce faire, j'utilise la fonction caractéristique de l'intervalle [-1;1]

D'où, une équation pour notre triangle:
$$\frac {y(|x|+y-1)}{1-\chi [-1;1]}=0$$
Après, tu pourrais l'agrandir par homothétie, le déformer par affinité, le faire tourner par rotation et le déplacer à ta guise.

Mais il sera peut-être plus simple de trouver une équation de ce type pour tout triangle ABC de sommets donnés. Mon seul problème est de limiter les tracés de droites aux segments-côtés...

Si on trouve une astuce, on pourra généraliser pour les polygones.
A suivre
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Bonjour.

Ce n'est pas une expression analytique, mais on a une équation polaire pour le carré de côté $a > 0$ centré au pôle :$$\rho = a\sqrt 2\sqrt{\frac{1 - \sqrt{\cos^2(2\theta)}}{\sin^2(2\theta)}}$$

Bruno
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Merci Bruno pour cet intermède polaire.

Voici un essai pour un triangle ABC. (Retour à l'analytique)

J'appelle B et C les points dont les abscisses sont extrêmes (en cas d'égalité, il faudra un traitement spécial)

Les côtés AB, AC et BC sont portés par des droites représentant des fonctions affines que je noterai $f_{AB}$, $f_{AC}$ et $f_{BC}$

J'utilise alors les fonctions caractéristiques des intervalles $[x_b;x_a]$, $[x_a;x_c]$ et $[x_b;x_c]$.

le triangle ABC est alors défini par:
$$\frac {(y-f_{BC}(x))(y-\chi [x_b;x_a]f_{AB}(x)-\chi [x_a;x_c]f_{AC}(x))}{1-\chi [x_b;x_c]}=0$$

Cette description me semble généralisable à bon nombre de polygones, pourvu qu'ils ne soient pas trop tordus.
La fonction $\chi [x_i; x_j]$ rend ici de bons services.

Qu'en pensez-vous?
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Je suis bien embêté, parce que je n'ai rien à proposer. Cependant, une fonction caractéristique ne correspond pas exactement à ma conception des fonctions analytiques en général. Comme il s'agit d'intervalles, je ne pense pas que cela soit un ennui majeur, mais je préférerais une expression avec des valeurs absolue.

Bruno
bs
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Bonjour,

le même carré que Bruno, mais, en plus joli;)

On a une équation polaire pour le carré de côté $a > 0$ centré au pôle :$$\rho = \frac{a}{\sqrt{1+sin(2\theta)}+ \sqrt{1-sin(2\theta)}}$$

[La case, bs, la case ;)
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Bruno,

J'accepte complètement cette objection: la fonction caractéristique est un artifice, et j'y ai eu recours parce que je n'ai pas trouvé mieux.

Je m'étonne cependant que tu sois plus indulgent à l'égard de la valeur absolue:
Tu remarqueras pour peu que x soit différent de a et b, on a:
$$\chi_{[a;b]}(x)=\frac {(x-a)+|x-a|}{2(x-a)} . \frac {(b-x)+|x-b|}{2(b-x)}$$

Non?
Pour moi, la racine carrée est tout aussi artificielle: elle résulte d'un assemblage de deux morceaux de fonctions algébriques...

$|x| = x\chi _{\R^+}(x) -x\chi _{\R^-}(x)$

Si quelq'un trouve mieux....

As-tu de jolies equations polaires pour le triangle équilatéral ou l'hexagone, à l'instar de celle du carré? Cela pourrait intéresser progfou.

Corialement.
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
jacquot, j'écrivais bien que je pensais que la fonction caractéristique d'un intervalle était probablement valable et tu le prouve avec l'expression que tu donnes.

En ce qui me concerne, la racine carrée d'une expression algébrique est une expression algébrique, je n'ai donc aucune réticence à écrire $|x - a| = \sqrt{(x - a)^2}$, je reste dans le domaine algébrique.

A ce sujet, je prends le terme "expression analytique" employé par notre ami progfou au sens de "équation de..." et notons au passage que l'équation polaire du carré s'exprime quand même encore par $\sqrt{x^2 + y^2} = \cdots$ et bien entendu, on a :
$$\cos(2\theta) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} \quad {\rm et} \quad \sin(2\theta) = \frac{2xy}{x^2 + y^2}$$ce qui donne une équation reliant les coordonnées cartésiennes du point courant de la courbe.

Au bout du compte, je ne défends aucun point de vue, j'ai exprimé une objection personnelle en reconnaissant toutefois le travail que tu as réalisé.

"...{\it Ils m'ont convaincu et ma muse insolente se rallie à leur loi, avec un soupçon de réserve toutefois}... " (G. Brassens, mourrir pour nos idées...) ;)
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
La citation exacte est "ils ont su me convaincre, et ma muse insolente, abjurant ses erreurs, se rallie à leur foi, avec un soupçon de réserve toutefois..."

On le voit plus trop Tonton Georges ces derniers temps, on dirait qu'il fait le mort... :)
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Nous sommes bien d'accord, Bruno!

Et je m'attendais bien à ce que tu exhibes le passage de la forme polaire aux coordonnées cartésiennes pour valider l'utilisation de ton équation polaire du carré ou de celle de proposée par bs dans le cadre du challenge qui nous occupe ici.

Que se passe-t-il au juste, si dans ta formule tu remplaces $2\theta $ par $\theta $? Obtiens-tu un octogone ou un octogone à côtés curvilignes? Peut-être y a-t-il alors moyen de corriger cette courbure..
J'ai un peu la flemme de chercher... As-tu une équation polaire de cette forme pour tout poygone régulier?

Je ne cherche plus, maintenant, à donner une équation pour chaque polygone, mais juste de montrer que c'est possible.

Merci Bruno. Je salue aussi le retour de bs au passage.
Bonsoir.
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
Ici on ne va se concidérer en dimension 2.

Excusez-moi mais ça sent à plein nez les ensembles semis-algébriques ici...
(programme de Master 2 Maths Pure, là où j'en suis...)

Les ensembles algébriques sont des ensembles formés par Unions finies d'intersections finies de zéros de polynômes. (ensembles déterminés par $P(x,y)=0$)

Un segment par exemple n'est pas un ensemble algébrique car il n'y a aucun moyen de créer un ensemble qui contienne une demie droite et pas le prolongement en une droite.
(si je dis une connerie corrigez-moi)

Les ensembles semi-algébriques sont définis comme des ensembles algébriques mais avec des Inégalités de polynômes (de type $P(x,y)<0$ ou $P(x,y)=0$)

Un segment est un ensemble algébrique,
Exemple : $[-1,1]$
On utilise les polynômes : $P_1(x,y)=y$ et $P_2(x,y)=x²$
En prenant les ensemble $(P_1=0) \cap (P_2-1 \leq 0)$
(désolé j'ai de graves problèmes avec Latex, je ne sais pas du tout comment fait les signes union, ou même "supérieur ou égal" qu'on peut aussi utiliser pour définir les ensembles semi-algébriques)
[J'ai corrigé le LaTeX. ;) AD]

Tout cela pour dire que si on pouvait définir un triangle comme ensemble algébrique, on pourrait aussi le faire pour un segment en intersectant avec une droite, et ainsi c'est faux.

Mais si on pouvait utiliser la valeur absolue... Comme dit plus haut...
Si on veut utiliser les ensembles sous-algébriques on peut obtenir des résultats intéressants.

Pour définir un triangle par trois droites d'équations :
$D_1: P_1(x,y)=a_1.x+b_1.y+c_1 = 0$
$D_2: P_2(x,y)=a_2.x+b_2.y+c_2 = 0$
$D_3: P_3(x,y)=a_3.x+b_3.y+c_3 = 0$
On peut supposer (quitte à muultiplier par -1) que l'intérieur du triangle est défini par :
$(P_1<0) \cap (P_2<0) \cap (P_3<0)$

On va supposer qu'on peut utiliser les valeurs absolues pour les équations de semi-algébrique car en soit ça pourrait prendre tout un sujet entier. Mais ce qu'on peut dire c'est qu'on peut s'arranger avec des inégalités pour la construire.
(en fait on utilise que les ensembles semi-algébriques en dimension 2 sont entièrement définis par des projections d'ensembles algébriques en dimension 3)

1) Le demi plan (fermé) défini par $D_1$ et contenant l'intérieur du triangle est défini par : $P_1\leq 0$
ce qui est équivalent à $|P_1|+P_1=0$
(on remarque en outre que $|P_1|+P_1 \geq 0$ et $|P_1|-P_1 \geq 0$ de partout)

2) On en déduit directement que le triangle avec son intérieur est défini par :
$|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3=0$
le triangle avec son extérieur est défini par :
FAX : $|P_1|-P_1+|P_2|-P_2+|P_3|-P_3=0$


FAUX : Le triangle seul est défini par :
FAUX : $|P_1|+|P_2|+|P_3|=0$

Ceci est l'opération de l'intersection.
En effet, on a que l'ensemble $|f|+|g|=0$ est l'intersection des ensembles $f=0$ et $g=0$
D'ailleurs on peut remarquer que le triangle est l'intersection des deux ensembles cités juste avant.

3) Si on veut ajouter un autre ensemble avec le triangle déjà construit, c'est facile.
On utilise que l'ensemble $f.g=0$ est l'union des ensembles $f=0$ et $g=0$.
En effet si l'ensemble qu'on veut ajouter est défini par $h(x,y)=0$ alors l'union est donné par :
FAUX : $(|P_1|+|P_2|+|P_3|).h=0$


Voilà,voilà
J'espère que ça va en réjouir certains.. Ce n'est vraiment pas si difficile que ça !
Et vraiment on peut faire bien plus de choses qu'un triangle ou un carré, ou des polygônes...
Bonne journée à tous !


PS : j'ai édité ce que j'ai dit là où j'ai mis FAUX ! Je corrige dans un autre poste plus loin.
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Pour ce qui est de mettre $\theta$ à la place de $2\,\theta$, cela change complètement l'aspect de la courbe : la première figure est la courbe obtenue qui est un morceau de la figure suivante.

Pour ce qui est d'autres polygones, il faut remarquer que dans le cas du carré, on est amené à résoudre une équation bicarrée ; on part de :
$$(a^2 - \rho^2\cos^2\theta)(a^2 - \rho^2\sin^2\theta) = 0$$
ce qui est une équation polaire de la famille des quatre droites; on obtient une résolvante portant sur le rayon vacteur :$$\rho^4\sin^2\theta\cos^2\theta - a^2\rho^2 + a^4 = 0$$On résout cette équation et on obtient la formule en jouant sur les propriétés des fonctions trigonométriques.

La même méthode appliquée au triangle fournit une équation du troisième degré ! Quant aux autre polygones...

Bruno

[attachment 6227 Courbe.gif]
[attachment 6228 Courbecomplete.gif]
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
J'ai mal utilisé les formules que j'avais utilisées pour l'intersection et l'union!
(i) L'ensemble $|f|+|g|=0$ est l'intersection des ensembles $f=0$ et $g=0$
(on comme les fonctions sont réelles on peut aussi dire de même pour $f²+g²=0$)
(ii) L'ensemble $f.g=0$ est l'union des ensembles $f=0$ et $g=0$.


Je recommence donc mon deuxième point :

2) On en déduit directement que le triangle avec son intérieur est défini par :
$|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3=0$ (intersection)
le triangle avec son extérieur est défini par :
$(|P_1|-P_1).(|P_2|-P_2).(|P_3|-P_3)=0$ (union)


Le triangle seul est alors défini par :
$|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3+(|P_1|-P_1).(|P_2|-P_2).(|P_3|-P_3)=0$
exprimé comme intersection des 2 ensembles.


Dans le 3) l'égalité fausse devient donc :
$(|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3+(|P_1|-P_1).(|P_2|-P_2).(|P_3|-P_3)).h=0$


désolé d'avoir déliré comme ca... j'étais trop attiré par une formule trop simple... en plus dans ma tête ma façon d'avancer étaitla bonne...




Pour en revenir au Carré demandé déja.
Soit le carré unité qui va de (0;0) à (1;1) (donc de longueur 1)
On observe que :
P_1(x,y)=-x
P_2(x,y)=x-1
P_3(x,y)=-y
P_4(x,y)=y-1

et l'équation du carré sera :
$|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3+|P_4|+P_4+(|P_1|-P_1).(|P_2|-P_2).(|P_3|-P_3).(|P_4|+P_4)=0$

En remplaçant on obtient alors :
$|x|+|y|+|x-1|+|y-1|-2+(|x|+x).(|y|+y).(|x-1|+1-x).(|y-1|+1-y)=0$
Voila ! là je suis sûr du résultat au moins à 99,9 pourcent de chance.

d'ailleur si on prend sur $x=0$, on a :
$|y|+|y-1|=1$ ce qui correspond exactement au segment $[0,1]$


PS : j'ai rien compris à votre délire dur la fonction l'angle, j'ai peur que ca soit trop compliqué...
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Bonjour alalsese,

Ton approche semble tenir la route, mais j'avoue que je ne suis pas entièrement entré dedans.
On pourra donc répondre à progfou que, pour peu que l'on s'autorise l'utilisation de valeurs absolues, on peut décrire les ploygones par des équations.

Et pour Bruno:

Mon idée de remplacer $2\theta $ par $\theta $ n'était pas coorrecte, il s'agirait plutôt de remplacer $2\theta$ par $4\theta $ moyennant quelques ajustements.

N'ayant pas compris d'où sortait ton équation polaire du carré, j'ai essayé d'en trouver une à partir de $|x|+|y| =1$
ce qui donne, en coordonnées polaires: $\rho (|cos \theta|+|sin\theta |) =1$ .
Remarquant que: $cos (2\theta)=2cos²\theta -1 = 1-2sin²\theta $,
il vient: $|cos \theta | =\sqrt {\frac {1+cos2\theta}{2}}$ et $|sin \theta | =\sqrt {\frac {1-cos2\theta}{2}}$

d'où l'équation polaire du carré: $$\rho = \frac {1}{\sqrt {\frac {1+cos2\theta}{2}}+\sqrt {\frac {1-cos2\theta}{2}}}$$
...formule qui ressemble à celle de bs et qui donne ceci:
[attachment 6230 Carr.PNG]

Passons maintenant à l'octogone:
La pente du premier segment( partant de I) doit être corrigée:
son équation cartésienne est $(1+\sqrt 2)x+ y = 1+\sqrt2$
et il faut introduire la variable $4\theta$ pour réduire la période et ainsi augmenter le nombre de côtés.

Après quelques gros calculs, j'obtiens:
$$\rho =\frac {\sqrt 2 + 2}{\sqrt{1-\sqrt{\frac{1+cos4\theta}{2}}}+(1+\sqrt 2)\sqrt{1+\sqrt{\frac{1+cos4\theta}{2}}}}$$
qui me donne ceci:
[attachment 6231 octogone.PNG]
Par cette méthode, l'obtention de l'octogone est plus facile qu celle du triangle équilatéral ou de l'hexagone.
Pour le triangle équilatéral, il faudrait pouvoir exprimer $cos\theta$ et $sin\theta $ en fonction de $cos 3\theta$ et $sin 3\theta $ ce qui nécessite la résolution d'équations du troisième degré, comme tu m'en avais prévenu.

Voilà, je pense avoir compris tes remarques, et j'arrêterai là cette étude pour partir un peu en vacances...
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Beau jacquot. Tu es bien plus tenace que moi. ;)
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Le carré admet aussi l'équation $\hbox{max}(|x|,|y|)=\frac{a}{2}$
donc en polaire $\displaystyle r=\frac{a}{2\,\hbox{max}(|\cos\theta|,|\sin\theta|)}$.

Si vous ne voulez pas de $\hbox{max}$, utiliser la relation
$\hbox{max}(|x|,|y|)=\frac{1}{2}\,(|x|+|y|+||x|-|y||)$

De toute façon étant donné un fermé $F$ de $\R^2$, on peut toujours trouver une fonction continue $g:\R^2\longrightarrow\R$ telle que $F=\{\,(x,y)\in\R^2\mid g(x,y)=0\}$.
Il suffit par exemple de prendre pour $g(x,y)$ la distance de $(x,y)$ à $F$.
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
avatar
Dis, Archimède, dessine-moi un triangle équilatéral.
STP.
Re: Expression analytique d'une forme géométrique ?
il y a sept années
Aparement tout le monde suit son délire ... C'est peut-être un peu plus facile pour un octogone mais ça ne donne pas de formule générale pour des polygones quelconques ...
(mon délire marchait pour les polygones convexes)

Je vais suivre le mien (de délire) en indicant l'équation d'un Segment $[A;B]$ dans $R²$
Soit $A:(x_a;y_a)$ et $B:(x_b,y_b)$
Le segment $[A;B]$ sera l'intersection de la droite $(AB)$ avec le disque (fermé) de centre le milieu de $[A;B]$ et de diamètre la longeur du segment.

1) Déjà la droite $(AB)$ est donné par l'équation :
$(AB) : P(X,Y)=(y_b-y_a).X+(x_a-x_b).Y+(x_b.y_a-x_a.y_b)=0$


2) Le Disque (fermé) $D$ en question est caractérisé par :
$(X-(x_a+x_b)/2)²+(Y-(y_a+y_b)/2)² \leq \frac{(x_a-x_b)²+(y_a-y_b)²}{4}$
Ce qui est équivalent à :
$Q(X,Y)=(X-(x_a+x_b)/2)²+(Y-(y_a+y_b)/2)²-\frac{(x_a-x_b)²+(y_a-y_b)²}{4} \leq 0$
Et encore c'est équivalent à :
$H(X,Y)=|Q(X,Y)|+Q(X,Y)=0$
(on remarque que $H$ est une fonction positive)

3) Le segment est alors déterminé par l'équation :
$S_{[A;B]}(X,Y)=|P(X,Y)|+H(X,Y)=0$

en dévelopant mieux on obtient :
$S_{[A;B]}(X,Y)=|(y_b-y_a).X+(x_a-x_b).Y+(x_b.y_a-x_a.y_b)|+|(X-(x_a+x_b)/2)²+(Y-(y_a+y_b)/2)²-\frac{(x_a-x_b)²+(y_a-y_b)²}{4}|+$
$\qquad +(X-(x_a+x_b)/2)²+(Y-(y_a+y_b)/2)²-\frac{(x_a-x_b)²+(y_a-y_b)²}{4}=0$

Voila l'équation qui régit le segment $[A;B]$


Si on ajoute un segment $[C;D]$, il suffit de prendre l'équation
$S_{[A;B]U[C;D]}(x,y)=S_{[A;B]}(x,y).S_{[C;D]}(x,y)=0$

A chaque ajout de segment on multiplie.
C'est vraiment facile non ?
Avec seulement ça on peut faire toutes les figures qui sont composées de segments.
Auteur:

Votre adresse électronique:


Sujet:


Mesure anti-SPAM :
Recopiez le code que vous voyez dans le champ ci-dessous. Cette mesure sert à bloquer les robots informatiques qui tentent de polluer ce site.
  *******    ******    **     **  **        **      ** 
 **     **  **    **   **     **  **        **  **  ** 
        **  **         **     **  **        **  **  ** 
  *******   **   ****  **     **  **        **  **  ** 
        **  **    **    **   **   **        **  **  ** 
 **     **  **    **     ** **    **        **  **  ** 
  *******    ******       ***     ********   ***  ***  
Message:
A lire avant de poster!
Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 100 362, Messages: 922 536, Utilisateurs: 10 638.
Notre dernier utilisateur inscrit Altaiir8.


Ce forum
Discussions: 19 178, Messages: 172 436.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page
Autres...