Expression analytique d'une forme géométrique ?

Bonjour.

Ce n'est pas une expression analytique, mais on a une équation polaire pour le carré de côté $a > 0$ centré au pôle :$$\rho = a\sqrt 2\sqrt{\frac{1 - \sqrt{\cos^2(2\theta)}}{\sin^2(2\theta)}}$$

Bruno

Je suis bien embêté, parce que je n'ai rien à proposer. Cependant, une fonction caractéristique ne correspond pas exactement à ma conception des fonctions analytiques en général. Comme il s'agit d'intervalles, je ne pense pas que cela soit un ennui majeur, mais je préférerais une expression avec des valeurs absolue.

Bruno

Bruno,

J'accepte complètement cette objection: la fonction caractéristique est un artifice, et j'y ai eu recours parce que je n'ai pas trouvé mieux.

Je m'étonne cependant que tu sois plus indulgent à l'égard de la valeur absolue:
Tu remarqueras pour peu que x soit différent de a et b, on a:
$$\chi_{[a;b]}(x)=\frac {(x-a)+|x-a|}{2(x-a)} . \frac {(b-x)+|x-b|}{2(b-x)}$$

Non?
Pour moi, la racine carrée est tout aussi artificielle: elle résulte d'un assemblage de deux morceaux de fonctions algébriques...

$|x| = x\chi _{\R^+}(x) -x\chi _{\R^-}(x)$

Si quelq'un trouve mieux....

As-tu de jolies equations polaires pour le triangle équilatéral ou l'hexagone, à l'instar de celle du carré? Cela pourrait intéresser progfou.

Corialement.

La citation exacte est "ils ont su me convaincre, et ma muse insolente, abjurant ses erreurs, se rallie à leur foi, avec un soupçon de réserve toutefois..."

On le voit plus trop Tonton Georges ces derniers temps, on dirait qu'il fait le mort...

Ici on ne va se concidérer en dimension 2.

Excusez-moi mais ça sent à plein nez les ensembles semis-algébriques ici...
(programme de Master 2 Maths Pure, là où j'en suis...)

Les ensembles algébriques sont des ensembles formés par Unions finies d'intersections finies de zéros de polynômes. (ensembles déterminés par $P(x,y)=0$)

Un segment par exemple n'est pas un ensemble algébrique car il n'y a aucun moyen de créer un ensemble qui contienne une demie droite et pas le prolongement en une droite.
(si je dis une connerie corrigez-moi)

Les ensembles semi-algébriques sont définis comme des ensembles algébriques mais avec des Inégalités de polynômes (de type $P(x,y)<0$ ou $P(x,y)=0$)

Un segment est un ensemble algébrique,
Exemple : $[-1,1]$
On utilise les polynômes : $P_1(x,y)=y$ et $P_2(x,y)=x²$
En prenant les ensemble $(P_1=0) \cap (P_2-1 \leq 0)$
(désolé j'ai de graves problèmes avec Latex, je ne sais pas du tout comment fait les signes union, ou même "supérieur ou égal" qu'on peut aussi utiliser pour définir les ensembles semi-algébriques)
[J'ai corrigé le LaTeX. AD]

Tout cela pour dire que si on pouvait définir un triangle comme ensemble algébrique, on pourrait aussi le faire pour un segment en intersectant avec une droite, et ainsi c'est faux.

Mais si on pouvait utiliser la valeur absolue... Comme dit plus haut...
Si on veut utiliser les ensembles sous-algébriques on peut obtenir des résultats intéressants.

Pour définir un triangle par trois droites d'équations :
$D_1: P_1(x,y)=a_1.x+b_1.y+c_1 = 0$
$D_2: P_2(x,y)=a_2.x+b_2.y+c_2 = 0$
$D_3: P_3(x,y)=a_3.x+b_3.y+c_3 = 0$
On peut supposer (quitte à muultiplier par -1) que l'intérieur du triangle est défini par :
$(P_1<0) \cap (P_2<0) \cap (P_3<0)$

On va supposer qu'on peut utiliser les valeurs absolues pour les équations de semi-algébrique car en soit ça pourrait prendre tout un sujet entier. Mais ce qu'on peut dire c'est qu'on peut s'arranger avec des inégalités pour la construire.
(en fait on utilise que les ensembles semi-algébriques en dimension 2 sont entièrement définis par des projections d'ensembles algébriques en dimension 3)

1) Le demi plan (fermé) défini par $D_1$ et contenant l'intérieur du triangle est défini par : $P_1\leq 0$
ce qui est équivalent à $|P_1|+P_1=0$
(on remarque en outre que $|P_1|+P_1 \geq 0$ et $|P_1|-P_1 \geq 0$ de partout)

2) On en déduit directement que le triangle avec son intérieur est défini par :
$|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3=0$
le triangle avec son extérieur est défini par :
FAX : $|P_1|-P_1+|P_2|-P_2+|P_3|-P_3=0$


FAUX : Le triangle seul est défini par :
FAUX : $|P_1|+|P_2|+|P_3|=0$

Ceci est l'opération de l'intersection.
En effet, on a que l'ensemble $|f|+|g|=0$ est l'intersection des ensembles $f=0$ et $g=0$
D'ailleurs on peut remarquer que le triangle est l'intersection des deux ensembles cités juste avant.

3) Si on veut ajouter un autre ensemble avec le triangle déjà construit, c'est facile.
On utilise que l'ensemble $f.g=0$ est l'union des ensembles $f=0$ et $g=0$.
En effet si l'ensemble qu'on veut ajouter est défini par $h(x,y)=0$ alors l'union est donné par :
FAUX : $(|P_1|+|P_2|+|P_3|).h=0$


Voilà,voilà
J'espère que ça va en réjouir certains.. Ce n'est vraiment pas si difficile que ça !
Et vraiment on peut faire bien plus de choses qu'un triangle ou un carré, ou des polygônes...
Bonne journée à tous !


PS : j'ai édité ce que j'ai dit là où j'ai mis FAUX ! Je corrige dans un autre poste plus loin.

J'ai mal utilisé les formules que j'avais utilisées pour l'intersection et l'union!
(i) L'ensemble $|f|+|g|=0$ est l'intersection des ensembles $f=0$ et $g=0$
(on comme les fonctions sont réelles on peut aussi dire de même pour $f²+g²=0$)
(ii) L'ensemble $f.g=0$ est l'union des ensembles $f=0$ et $g=0$.


Je recommence donc mon deuxième point :

2) On en déduit directement que le triangle avec son intérieur est défini par :
$|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3=0$ (intersection)
le triangle avec son extérieur est défini par :
$(|P_1|-P_1).(|P_2|-P_2).(|P_3|-P_3)=0$ (union)


Le triangle seul est alors défini par :
$|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3+(|P_1|-P_1).(|P_2|-P_2).(|P_3|-P_3)=0$
exprimé comme intersection des 2 ensembles.


Dans le 3) l'égalité fausse devient donc :
$(|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3+(|P_1|-P_1).(|P_2|-P_2).(|P_3|-P_3)).h=0$


désolé d'avoir déliré comme ca... j'étais trop attiré par une formule trop simple... en plus dans ma tête ma façon d'avancer étaitla bonne...




Pour en revenir au Carré demandé déja.
Soit le carré unité qui va de (0;0) à (1;1) (donc de longueur 1)
On observe que :
P_1(x,y)=-x
P_2(x,y)=x-1
P_3(x,y)=-y
P_4(x,y)=y-1

et l'équation du carré sera :
$|P_1|+P_1+|P_2|+P_2+|P_3|+P_3+|P_4|+P_4+(|P_1|-P_1).(|P_2|-P_2).(|P_3|-P_3).(|P_4|+P_4)=0$

En remplaçant on obtient alors :
$|x|+|y|+|x-1|+|y-1|-2+(|x|+x).(|y|+y).(|x-1|+1-x).(|y-1|+1-y)=0$
Voila ! là je suis sûr du résultat au moins à 99,9 pourcent de chance.

d'ailleur si on prend sur $x=0$, on a :
$|y|+|y-1|=1$ ce qui correspond exactement au segment $[0,1]$


PS : j'ai rien compris à votre délire dur la fonction l'angle, j'ai peur que ca soit trop compliqué...

Beau jacquot. Tu es bien plus tenace que moi.

Dis, Archimède, dessine-moi un triangle équilatéral.
STP.