Séparabilité

Non, il n'y a pas de notation spécifique pour ça. On écrit en toutes lettres, $X\hookrightarrow Y$ avec injection dense pour dire qu'il existe une injection continue de $X$ dans $Y$ dont l'image est dense dans $Y$ pour la topologie de $Y$ (en général, mais pas toujours, cette injection est juste l'inclusion ensembliste).

Le fait que des espaces soient denses les uns dans les autres ne signifie pas du tout qu'ils soient \og\ sensiblement \fg\ identiques. Par exemple, $L^\infty(0,1)$ est dense dans $L^1(0,1)$, mais $L^\infty$ n'est pas séparable (donc d'un certain point de vue \og\ très gros \fg\ pour sa propre topologie) alors que $L^1(0,1)$ est séparable. En fait, il ne faut pas aller chercher plus loin que la définition de la densité $\bar X=Y$, et dans le cas métrique pour $Y$ par exemple, tout élément de $Y$ est limite au sens de $Y$ d'une suite d'éléments de $X$.

Je dirais même que c'est carrément moche mais pur débuter c'est pas mal de savoir où on prend l'adhérence !

L'exemple $L^{\infty}$ dense dans $L^1$ est hyper parlant je trouve, surtout que $L^1 \cap L^{\infty}$ n'est pas du tout dense dans $L^{\infty}$ !

Je pense que TigerFou a du grain à moudre, il n'y a plus qu'à méditer tout ça...

Ca me paraît bien sauf le tout dernier qui est un peu délirant

En ce qui concerne $S$ (je suppose que c'est l'espace de Schwartz) alors on a $\overline{S}^{(L^p,|| \cdot ||_p)}=L^p$ pour tout $p \in [1,\infty[$ ce qui implique ton résultat.


Je ne suis pas sûr de ce qu'est $K[X]$, je pense que c'est $\R[X]$. Concernant ce que tu as écrit je te rappelle que $\overline{E}^{(V,N)}$ est un sous-espace de $V$. Or $\R[X]$ n'est pas un sous-espace de $C_c(\R)$, et vice-versa non plus ; en fait ces deux espaces sont en somme directe dans $C(\R)$ ! (i.e. $C_c(\R) \cap \R[X]=\{0\}$). Ensuite $|| \cdot ||_{\infty}$ n'est pas vraiment une norme sur $\R[X]$ puisque les seuls polynômes bornés sont les polynômes constants (à moins que tu ne parles d'une norme à base de $\max$ des coefficients ?).


A mon avis tu as voulu traduire en termes d'adhérence le résultat initial de ce post, à savoir la densité des $\varphi_n Q$ dans $C_c$. Je ne vois pas de manière très claire de l'exprimer. Note que l'ensemble $E$ dont tu as montré la densité n'est pas un sous-espace vectoriel, il n'est même pas stable par addition, parce que $\varphi_m+\varphi_n$ ne s'écrit pas $\varphi_p Q$. On pourrait considérer le $\R$-espace vectoriel engendré par $E$ mais alors on perd la dénombrabilité. Ou alors on pourrait considérer le $\Q$-espace vectoriel engendré par $E$. Mais je ne vois pas comment lui donner un nom sympathique.

OK pour la notation, elle n'est abusive que si tu ne la définis pas ! (enfin dans le cadre d'un examen mieux vaut utiliser des notations standard c'est vrai). Mais il n'est pas faux d'utiliser la norme $|| \cdot ||_{\infty}$ t'inquiète, puisque tes polynômes multipliés par des fonctions $C_c$ sont bien bornés.

Finalement qu'est-ce qui est à support compact et ressemble beaucoup à un polynôme ? (devinette du style qu'est-ce qui est vert et qui monte et qui descend). Réponse : une fonction de la forme $P(x) \varphi(x)$ où $\varphi$ est une fonction-plateau, c'est-à-dire régulière (au moins continue et parfois même $C^{\infty}$) égale à 1 sur un compact $k$ et égale à $0$ en dehors d'un compact $K \supset k$. Donc le résultat que tu as montré est le meilleur possible en quelque sorte !

Je ne suis pas sûr d'avoir été clair sur le coup de la somme directe : je n'ai surtout pas dit que $C(\R)$ était la somme de $\R[X]$ et de $C_c(\R)$, ce qui est très faux, et tu peux trouver au moins deux excellentes raisons à ça.

PS : On peut se tutoyer si ça ne te dérange pas. Mais si ça vous dérange je comprends.

PS2 : Je ne comprends pas à quoi la phrase "cette notation ne caractérise que les cas particuliers d'ensembles denses que sont les espaces complétés" fait référence.

En effet les fonctions de $C_c(\R)+\R[X]$ ont pas mal de propriétés très particulières :
- elles ne sont pas périodiques sauf si elles sont constantes ;
- elles ont un comportement polynomial à l'infini ;
- elles sont dérivables, et même $C^{\infty}$, hors d'un certain compact ;
- etc.
Alors qu'on peut trouver des fonction continues infirmant chaque affirmation :
- $\cos$, $\sin$ et tous leurs amis ;
- $\ln (1+x^2)$, $e^x$, $\frac{1}{1+x^2}$ ;
- ta fonction continue partout, nulle part dérivable préférée, ou bien $\int_0^x E(t) \, dt$ (primitive de la partie entière) ;
-etc.

Sinon je veux bien que $\sin$ soit une limite de polynômes mais en quel sens ?

En fait il faut faire la distinction entre
- $\overline{E}^N$, notons-le $\widehat{E}^N$, qui est le complété de $E$ relativement à la norme $N$, un objet défini indépendamment de tout environnement : on te donne un espace normé et tu construis un espace complet qui le contient comme sous-espace dense, et qui est le plus petit espace complet le contenant (plus généralement ça marche avec un espace métrique).
- $\overline{E}^{(V,N)}$ qui est l'adhérence d'une partie $E$ d'un espace normé $(V,N)$.
Alors de deux choses l'une, soit $V$ est assez grand et "contient" $\widehat{E}^N$, auquel cas l'adhérence de $E$ dans $V$ y est égale, soit il est trop petit et dans ce cas $E$ est dense dans $V$ (le cas limite est obtenu lorsque $E$ est dense dans $V$ et $V$ complet alors $V$ est le complété). Humm je suis clair là ?

Exemple de $V$ assez grand : $V=(C_b(\R),||\cdot||_{\infty})$ pour $E=C_c(\R)$, alors l'adhérence de $E$ est son complété $C_0(\R)$. Exemple de $V$ trop petit : $V=(C_b(]0,1[),||\cdot||_2)$ pour $E=C_c(]0,1[)$ : $E$ est dense dans $V$ donc l'adhérence de $E$ dans $V$ est $V$, mais son complété est encore plus grand : c'est $L^2(]0,1[)$.

Au passage tu peux remarqeur que si $C_c(]0,1[)$ est dense dans $C_b(]0,1[)$ pour $|| \cdot||_{2}$, ce n'est pas le cas pour la norme $|| \cdot ||_{\infty}$. En revanche sur $[0,1]$ ça marche puisqu'on a carrément $C_b([0,1])=C_c([0,1])$ !

Voilà j'espère que je t'ai bien embrouillé !