zeta(3)
J'ai trouvé la valeur exacte de zeta(3) si cela intéresse quelqu'un qu'il me fasse signe je lui exposerai la démo. Cette valeur est exprimée sous forme d'intégrale assez élégante, et semble par une de mes récentes trouvailles, calculable !!
$$ \zeta(3) = \int_0^\pi \frac 2 3 \Big( \frac{t^3}{\pi} - \pi t\Big) \mathrm{cotan}(t)\, \mathrm dt $$
Toute suggestion sera la bienvenue.
$$ \zeta(3) = \int_0^\pi \frac 2 3 \Big( \frac{t^3}{\pi} - \pi t\Big) \mathrm{cotan}(t)\, \mathrm dt $$
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Réponses
Cette intégrale pose un problème à maple en $\pi$. Mais la calculer de $0$ à $\pi-10^{-24}$ donne une valeur, complexe (mais la partie imaginaire est de $10^{-98}$ effectivement proche de $\zeta (3)$ à $10^{-23}$ près.
Bref, je ne connais rien sur $\zeta$, mais faut avouer que c'est numériquement très proche.
Cordialement
\begin{eqnarray*}
\zeta(3) & = & \frac{\pi^3}{12}\int_{0}^{1}(1-x^2)\,\,x\,\tan\frac{\pi x}{2}\,\mathrm{d}x \\
\zeta(5) & = & \frac{\pi^5}{6!}\int_{0}^{1}(1-x^2)(7-3x^2)\,\,x\,\tan\frac{\pi x}{2}\,\mathrm{d}x \\
\zeta(7) & = & \frac{\pi^7}{6\cdot 7!}\int_{0}^{1}(1-x^2)(3x^4-18x^2+31)\,\,x\,\tan\frac{\pi x}{2}\,\mathrm{d}x \\
\zeta(9) & = & \frac{\pi^9}{10!}\int_{0}^{1}(1-x^2)(5x^6-55x^4+239x^2-381)\,\,x\,\tan\frac{\pi x}{2}\,\mathrm{d}x \\
\zeta(11) & = & \frac{-\pi^{11}}{66\cdot 10!}\int_{0}^{1}(1-x^2)(5-x^2)(3x^6-37x^4+225x^2-511)\,\,x\,\tan\frac{\pi x}{2}\,\mathrm{d}x \\
& \cdots &
\end{eqnarray*}
Plus généralement, on peut montrer que pour tout $n\in\N^*$, il existe $P_n\in\Q[\pi][X]$ sans terme constant, tel que
\[
\zeta(2n+1)=\int_{0}^{\pi}\frac{P_{n}(x)}{2\tan\frac{x}{2}}\,\mathrm{d}x=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{1}P_{n}(\pi(1-x))\tan\frac{\pi x}{2}\,\mathrm{d}x\mbox{.}
\]
Est-ce que ta démonstration repose sur les séries de Fourier?
Amicalement
Merci
Cordialement
Mais en quelle classe es-tu ?
Penses-tu que ces résultats soient utiles ? Est-il possible de calculer ces intégrales ? (sans utiliser les méthodes classiques bien sûr qui n'aboutissent à rien du tout !)
Bizar: quelle est ta trouvaille calculable concernant $\zeta(3)$ ? Bizar, vous avez dit bizar ?
Théorème d'Apéry :
Ce théorème stipule que le nombre $ \zeta(3) $ est irrationnel. Ce nombre est également appelé constante d'Apéry.
[La case LaTeX AD]
peut puis-je trouvé une intégralle judicieuse qui donnerai la valeur de celle ci!!
on a le droit de réver
En ce qui me concerne j'avais trouvé cette démonstration en sup (l'année dernière).
Quelques remarques:
- on peut démontrer les formules ci-dessus une par une, en développant les polynômes sous les intégrales en série de Fourier (plus précisément, des fonctions $2\pi$-périodiques qui coïncident avec ces polynômes sur $[0,\pi]$), mais ça devient vite fastidieux... Ne serait-ce que pour $\zeta(3)$.
- les fonctions sous les intégrales étant prolongeables par continuité (sauf erreur), ces intégrales fournissent rapidement de bonnes valeurs approchées des $\zeta(2n+1)$.
- d'ailleurs, je ne suis pas sûr que ces formules servent à quoi que ce soit, si ce n'est éventuellement au calcul approché de ces $\zeta(2n+1)$.
- il me semble que l'on ne peut pas trouver de "forme close" pour les $\zeta(2n+1)$ à l'aide des constantes usuelles, mais je n'en suis pas sûr. Ce qui est certain, c'est que la démonstration doit être assez ardue...
Amicalement
Pr:=P->expand(x->int(int(P(x),x),x)):
T:=P->(x->(x*Pr(P)(Pi)/Pi-Pr(P)(x))):
P0:=x->x^3/(6*Pi)-1/2*x^2+Pi/3*x:
P:=n->expand((T@@n)(P0)):
f:=n->simplify(Pi/2*int(P(n)(Pi*(1-x))*tan(Pi*x/2),x=0..1)=factor(Pi/2*Int(P(n)(Pi*(1-x))*tan(Pi*x/2),x=0..1))):
f(0);f(1);f(2);f(3);f(4);f(5);
Après recherche sur MathWorld, ces intégrales font apparemment intervenir des polynômes d'Euler ou de Bernoulli. Les formules précédentes ne doivent donc pas être des nouveautés.
Amicalement
Pour ma part je suis en SUP (je dis ça comme ça...).
On peut noter qu'il est intéressant de savoir que toutes ces intégrales sont des irrationnels (cf Apéry).
Existe-t-il un encadrement non trivial de zeta(3) ?
As-tu rédigé ta démonstration en .doc? Ou alors tu peux la scanner et me l'envoyer, je pourrais la transcrire si tu veux.
Sinon apprendre les bases $\LaTeX$ peut s'avérer un bon investissement (et pas trop lourd), même en sup, par exemple pour rédiger un dossier de TIPE...
Amicalement
PS: après calculs rapides, il semble que "mes" polynômes $P_n(\pi X)$ ne soient pas liés aux polynômes d'Euler ou de Bernoulli. Les intégrales obtenues sont donc peut-être indépendantes des intégrales des équations (78) à (81) de cette page \lien{http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html}. Maintenant, ce n'est pas certain...
Mais on sait de plus que parmi zeta 5, 7 ou 9 au moins l'un est irrationnel pour les autres on ne sait rien !!!
Ce résultat est assez récent et la démo très ardue !!
Je te scane ma démo prochainement en espérant que tu arrives à me lire !!
(je passe les calculs trop longs a ¨¦crire et assez inutiles)
¡Ò ( 4 / (3¦°) t^3 ¨C (4¦°) t / 3 ) * sin ( 2kt) dt (entre 0 et Pi ) = 1 / k^3
Ainsi :
¡Æ (int¨¦grale pr¨¦c¨¦dente) = ¡Æ 1 / k^3
Puis on utilise la lin¨¦arit¨¦ de l¡¯int¨¦grale et on transforme la somme des sin (2kt) en qqchose de plus agr¨¦able :
Il vient : ¡Æ sin(2kt) = (1 / 2) * (cotan t ¨C cos ((2n+1) t) / sin t)
(apr¨¨s utilisation de qqs formules bien connues)
On montre que
F(t) = ( 4 / (3¦°) t^3¨C (4¦°) t / 3 ) * (1 / sin t) est prolongeable par continuit¨¦ en utilisant les DL
La somme de ces int¨¦grales vaut donc :
¡Ò F(t) * cos t dt + I (entre 0 et Pi)
Avec I = ¡Ò F(t) * cos ((2n+1)t) (entre 0 et Pi)
On ¨¦tudie I en l¡¯infini ¨¤ l¡¯aide du thm des gendarmes, de l¡¯in¨¦galit¨¦ de la moyenne infinit¨¦simale et d¡¯une ipp , I tend vers 0 !!
On obtient le r¨¦sultat ¨¦nonc¨¦ !!
Voila ; j¡¯esp¨¨re avoir ¨¦t¨¦ assez claire¡
veuillez excuser le manque de r¨¦daction ::o
[Bizar ne peux-tu taper ton texte dans un éditeur de texte élémentaire, du genre de celui proposé par le forum.
Cela éviterait ces caractères illisibles :-( AD]
Je n'ai pas bien compris l'étude de $I$ à la fin, tu pourrais détailler?
Amicalement
sup|F(t)|* (intégrale de cos (2n+1)t dt entre 0 et Pi)
puis comme F continue sur [0;Pi] le sup est un max et donc est constant
et int de cos(2n+1)t dt = sin(2n+1)t/(2n+1) qui tend vers 0
donc le tout tend vers 0
puis par le thm des gendarmes |I| tend vers 0 donc I aussi;
voila j'espère avoir su clarifier les choses.
Je ne sais pas si l'on peut se passer du lemme de Lebesgue; avec des hypothèses $\mathcal{C}^1$ c'est faisable en sup, mais il faut justifier que $F$ est prolongeable $\mathcal{C}^1$; avec seulement $F$ continue il me semble que le recours aux limites uniformes de fonctions en escalier est indispensable, et du coup il faut des outils de spé.
Amicalement
PS: << le $\mathrm{sup}$ est constant >>... en effet!
en intégrant I par partie on a :
(en effet cos et F sont C1 (pour F on utilise le thm de la limite de la dérivée et les DL))
I = [-F(t)*sin(2n+1)t/(2n+1)](entre 0 et Pi) + intégrale (F'(t) * sin(2n+1)t/(2n+1))dt (entre 0 et Pi)
le premier terme est nul, quant au second on le minore par:
1/(2n+1) * sup|sin(2n+1)t| * int (|F'(t)|dt) (entre 0 et Pi)
le sup est plus petit que 1 car c'est un sin
l'intégrale se minore par : sup|F'(t)|(=cste) * int (|1|dt) (entre 0 et Pi)
(voir |F'(t)| comme |F'(t)| * 1)
puis le terme 1/(2n+1) tend vers 0 donc I aussi!!
en espèrant ne pas avoir comis de nouveau une erreur...
au fait, Lebesgue ne m'a pas servi!!
cordialement
X:-(
(:D
Amicalement
amicalement (:P)
On voit bien que les nombres de Bernouilli étant nuls pour n impair la piste utilisée classiquement pour calcule zeta d'un nombre pair tombe à l'eau.
Est ce que pour autant on doit renoncer à des artifices du genre les séries de Fourier. Il y a-t-il une explication "profonde" à cette si grande différence de "calculabilité" de zeta entre les caleurs paires et les valeurs impaires?
$$\pi,\zeta(3),\zeta(5).....$$
sont algebriquement independants.
Joaopa
Cette conjecture est certainement vraie, car elle est demontree dans les corps des fonctions.
-- Schnoebelen, Philippe
Joaopa
\[
\int_{0}^{\pi}\pi t\left( \left( \frac{t}{\pi}\right) ^{2}-1\right)
\cot\left( t\right) dt=\frac{3}{2}\zeta\left( 3\right)
\]
%
\[
\int_{0}^{\pi}\pi t\left( \left( \frac{t}{\pi}\right) ^{3}-1\right)
\cot\left( t\right) dt=3\zeta\left( 3\right)
\]
%
\[
\int_{0}^{\pi}\pi t\left( \left( \frac{t}{\pi}\right) ^{4}-1\right)
\cot\left( t\right) dt=\frac{5\left( 2\zeta\left( 3\right) \pi^{2}%
-3\zeta\left( 5\right) \right) }{2\pi^{2}}%
\]
%
\[
\int_{0}^{\pi}\pi t\left( \left( \frac{t}{\pi}\right) ^{5}-1\right)
\cot\left( t\right) dt=\frac{15\left( \zeta\left( 3\right) \pi^{2}%
-3\zeta\left( 5\right) \right) }{2\pi^{2}}%
\]
%
\[
\int_{0}^{\pi}\pi t\left( \left( \frac{t}{\pi}\right) ^{6}-1\right)
\cot\left( t\right) dt=\frac{21\left( 2\zeta\left( 3\right) \pi
^{4}-10\zeta\left( 5\right) \pi^{2}+15\zeta\left( 7\right) \right) }%
{4\pi^{4}}%
\]
%
\[
\int_{0}^{\pi}\pi t\left( \left( \frac{t}{\pi}\right) ^{7}-1\right)
\cot\left( t\right) dt=\frac{7\left( 2\zeta\left( 3\right) \pi
^{4}-15\zeta\left( 5\right) \pi^{2}+45\zeta\left( 7\right) \right) }%
{\pi^{4}}%
\]
De toute façon, il aurait fallu rajouter les e^n, puisque e est transcendant.
Plus généralement, il me semble qu'il est impossible de construire explicitement une base de R vu comme Q-ev (ça porte un nom d'ailleurs ces bases... Hamel ?).
il existe une autre intégrale paramétrée plus simple dont le résultat est lié à Zéta
intégrale de 0 à 1 de [ln(t)]^p.dt/(1-t) = [(-1)^p].p!.Zéta(p+1)
la démonstration passe par le développement de 1/(1-t) et les intégrales de ln^p(t)
Zéta de variable entière impaire s'exprime en fait avec de nombreuses intégrales numériques
cordialement